Se , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a derivada de u(t), que é definida como u(t) = r(t) cdot [r'(t) times r''(t)], é igual a r(t) cdot [r'(t) times r'''(t)]. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de produtos escalar e vetorial. Vamos precisar usar a regra do produto para derivadas e entender como derivar um produto escalar envolvendo produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que u(t) é um produto escalar entre r(t) e r'(t) times r''(t). Para encontrar a derivada de u(t), precisamos usar a regra do produto para derivadas de produtos escalares. A regra geral diz que se temos f(t) = a(t) cdot b(t), então f'(t) = a'(t) cdot b(t) + a(t) cdot b'(t).

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso:
u'(t) = r'(t) cdot [r'(t) times r''(t)] + r(t) cdot ddt[r'(t) times r''(t)]
Aqui, derivamos cada parte do produto escalar separadamente.

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo é r'(t) cdot [r'(t) times r''(t)]. Sabemos que o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dele com outro vetor é sempre zero, porque são vetores mutuamente perpendiculares. Então:
r'(t) cdot [r'(t) times r''(t)] = 0

Passo 5

Agora, vamos ao segundo termo: r(t) cdot ddt[r'(t) times r''(t)]. Precisamos derivar o produto vetorial r'(t) times r''(t). A regra de derivação de um produto vetorial é:
ddt [a(t) times b(t)] = a'(t) times b(t) + a(t) times b'(t)
Aplicando isso ao nosso caso:
ddt[r'(t) times r''(t)] = r''(t) times r''(t) + r'(t) times r'''(t)

Passo 6

Observamos que r''(t) times r''(t) = 0, já que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero. Portanto, o termo se simplifica para:
ddt[r'(t) times r''(t)] = r'(t) times r'''(t)

Passo 7

Substituindo de volta no segundo termo:
r(t) cdot [r'(t) times r'''(t)]
Agora, nossa expressão para u'(t) fica:
u'(t) = 0 + r(t) cdot [r'(t) times r'''(t)]

Resposta

Portanto, mostramos que:
u'(t) = r(t) cdot [r'(t) times r'''(t)]

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