Se
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a derivada de
, que é definida como
, é igual a
. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de produtos escalar e vetorial. Vamos precisar usar a regra do produto para derivadas e entender como derivar um produto escalar envolvendo produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um produto escalar entre
e
. Para encontrar a derivada de
, precisamos usar a regra do produto para derivadas de produtos escalares. A regra geral diz que se temos
, então
.
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso caso:
Aqui, derivamos cada parte do produto escalar separadamente.
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo é
. Sabemos que o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dele com outro vetor é sempre zero, porque são vetores mutuamente perpendiculares. Então:
Passo 5
Agora, vamos ao segundo termo:
. Precisamos derivar o produto vetorial
. A regra de derivação de um produto vetorial é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 6
Observamos que
, já que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero. Portanto, o termo se simplifica para:
Passo 7
Substituindo de volta no segundo termo:
Agora, nossa expressão para
fica:
Resposta
Portanto, mostramos que: