Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
a. an=(3 n-1)!(3 n+1)!
b. an=(3 n+2)!(3 n-2)!
c. an=n^3ln (2 n+1)
d. an=(-1)^n n^2e^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para identificar quais das sequências apresentadas são convergentes. Isso faz parte do conteúdo de sequências e suas convergências. Para resolver, vamos analisar cada sequência individualmente e verificar se elas se aproximam de um valor específico quando n cresce indefinidamente.

Passo 2

Alternativa a: an = (3n - 1)!(3n + 1)!
Primeiro, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
(3n - 1)!(3n + 1)! = 1(3n)(3n + 1)
À medida que n aumenta, tanto 3n quanto 3n + 1 também aumentam, fazendo com que o denominador cresça muito. Portanto:
limn to infty an = limn to infty 1(3n)(3n + 1) = 0
Então, a sequência converge para 0.

Passo 3

Alternativa b: an = (3n + 2)!(3n - 2)!
Vamos reescrever essa expressão:
(3n + 2)!(3n - 2)! = (3n - 1)(3n)(3n + 1)(3n + 2)
Observamos que cada termo dentro dos parênteses cresce sem limites conforme n aumenta. Multiplicando termos que crescem indefinidamente, a sequência tende ao infinito:
limn to infty an = infty
Portanto, essa sequência não é convergente.

Passo 4

Alternativa c: an = n^3ln(2n + 1)
Aqui, o numerador cresce como n^3 e o denominador cresce como ln(n) . Sabemos que polinômios crescem muito mais rápido que logaritmos. Então:
limn to infty an = limn to infty n^3ln(2n + 1) = infty
Assim, essa sequência também não é convergente.

Passo 5

Alternativa d: an = (-1)^n n^2e^2n
Vamos analisar o comportamento dessa sequência. O termo (-1)^n faz a sequência alternar entre positivo e negativo, mas o importante é o valor absoluto:
| an | = n^2e^2n
Sabemos que exponentes com base e crescem muito mais rápido que qualquer polinômio. Então:
limn to infty n^2e^2n = 0
Mesmo com a alternância de sinais, a sequência se aproxima de 0.

Resposta

As sequências convergentes são as alternativas a e d.

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