Sendo y=y(x), encontre a solução geral da equação:
x^2 y^prime prime+x y^prime-y=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler não-homogênea
x^2y'' + x y' - y = -1
e pede a solução geral y=y(x). Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução geral da homogênea associada usando o ansatz de Cauchy–Euler y=x^r e depois buscar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea substituímos y=x^r. Como
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1),x^r-2,
temos
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+xl[r,x^r-1r]-x^r=0 Longrightarrow r(r-1)+r-1=0 Longrightarrow r^2-1=0
As raízes são r=1 e r=-1.

Passo 3

Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1,x + C2,x^-1

Passo 4

Para achar uma solução particular yp, tentamos yp=A constante. Então y'p=0 e y''p=0. Substituindo na equação original:
x^2cdot0 + xcdot0 - A = -1 Longrightarrow -A=-1 Longrightarrow A=1
Assim yp=1.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x)=C1x + C2x^-1 + 1

Resposta

y(x)=C1x + C2x^-1 + 1

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