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Preencha o campo abaixo com o valor do limite: lim (x, y) (-2,-2) y^4-x^4y-x
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (-2, -2). O enunciado é:
lim (x, y) (-2,-2) y^4-x^4y-x
Vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, olha só a expressão no numerador: y^4 - x^4. Esse tipo de expressão pode ser fatorado usando a diferença de potências. A regra é:
a^n - b^n = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1)
No nosso caso, n = 4, então:
y^4 - x^4 = (y - x)(y^3 + y^2x + yx^2 + x^3)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
y^4-x^4y-x = (y - x)(y^3 + y^2x + yx^2 + x^3)y - x
Aí, o (y - x) no numerador e no denominador se cancelam, desde que y neq x, o que é válido para o limite. Então fica:
y^3 + y^2x + yx^2 + x^3

Passo 4

Agora, para calcular o limite, simplesmente substituímos x e y por -2:
(-2)^3 + (-2)^2(-2) + (-2)(-2)^2 + (-2)^3
Vamos calcular termo por termo:
  1. (-2)^3 = -8
  2. (-2)^2(-2) = 4 times (-2) = -8
  3. (-2)(-2)^2 = (-2) times 4 = -8
  4. (-2)^3 = -8

Passo 5

Somando todos os termos:
-8 + (-8) + (-8) + (-8) = -32

Resposta

O valor do limite é -32.

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