1. Mostre que dd x ln (x+raizx^2+1)=1raizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada de lnl(x+raizx^2+1r) é
1raizx^2+1
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para logaritmos e a derivada de uma raiz quadrada.

Passo 2

Defina
u = x + raizx^2+1
Pela regra da cadeia,
ddxln(u) = u'u
Agora calcule u':
u' = ddxl(xr) + ddxl(raizx^2+1r) = 1 + 12raizx^2+1cdot 2x = 1 + xraizx^2+1
Logo,
ddxlnl(x+raizx^2+1r) = 1 + tfracxraizx^2+1x + raizx^2+1

Passo 3

Para simplificar, escreva o numerador com denominador comum:
1 + xraizx^2+1 = raizx^2+1 + xraizx^2+1
Então
1 + tfracxraizx^2+1x + raizx^2+1 = tfracraizx^2+1+xraizx^2+1x + raizx^2+1 = raizx^2+1+xraizx^2+1,l(x+raizx^2+1r) = 1raizx^2+1

Resposta

ddxlnl(x+raizx^2+1r) = 1raizx^2+1

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