Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se a sequência
é convergente ou não. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Básicamente, uma sequência converge se ela se aproxima de um valor específico quando
cresce indefinidamente.
Passo 3
Aqui, nossa sequência é
. Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 4
O numerador
cresce muito rápido à medida que
aumenta. Por outro lado, o denominador
também cresce, mas muito mais lentamente, já que o logaritmo cresce de forma sublinear.
Passo 5
Para comparar essas taxas de crescimento, podemos usar o conceito de limites. Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 6
Observamos que o numerador
tende ao infinito e o denominador
também tende ao infinito, mas sabemos que potências inteiras crescem muito mais rápido que logaritmos. Portanto, o limite desta fração será infinito.
Passo 7
Como o limite de
é infinito, isso significa que a sequência não converge para nenhum número real. Ela diverge para o infinito.
Resposta
A sequência
é divergente.