Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
an=n^3ln (2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se a sequência an = n^3ln (2n+1) é convergente ou não. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Básicamente, uma sequência converge se ela se aproxima de um valor específico quando n cresce indefinidamente.

Passo 3

Aqui, nossa sequência é an = n^3ln (2n+1) . Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando n tende ao infinito.

Passo 4

O numerador n^3 cresce muito rápido à medida que n aumenta. Por outro lado, o denominador ln (2n+1) também cresce, mas muito mais lentamente, já que o logaritmo cresce de forma sublinear.

Passo 5

Para comparar essas taxas de crescimento, podemos usar o conceito de limites. Vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n^3ln (2n+1)

Passo 6

Observamos que o numerador n^3 tende ao infinito e o denominador ln (2n+1) também tende ao infinito, mas sabemos que potências inteiras crescem muito mais rápido que logaritmos. Portanto, o limite desta fração será infinito.

Passo 7

Como o limite de an é infinito, isso significa que a sequência não converge para nenhum número real. Ela diverge para o infinito.

Resposta

A sequência an = n^3ln (2n+1) é divergente.

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