Calcule os seguintes limites: (DICA: resolução muito parecida com o exercícios anterior)
lim (x, y) (0,0) raizx^2+y^2 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) raizx^2+y^2;lnl(x^2+y^2r)
O conteúdo aqui é cálculo de limite de uma função de duas variáveis em que aparece a expressão x^2+y^2. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, pois x^2+y^2=r^2 e o limite rto0^+ é mais fácil de analisar.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0, thetain[0,2pi)
Então x^2+y^2=r^2 e a expressão dentro do limite vira
raizx^2+y^2;lnl(x^2+y^2r) = r;lnl(r^2r)

Passo 3

Reescrevendo o logaritmo, temos
r;lnl(r^2r) = r;l(2ln rr) = 2,rln r
Portanto o limite fica
lim(x,y)to(0,0) raizx^2+y^2;lnl(x^2+y^2r) = limrto0^+ 2,rln r

Passo 4

Para limrto0^+rln r usamos que, quando rto0^+, o logaritmo diverge para -infty mas r vai a zero mais rápido, fazendo o produto tender a zero. Ou seja,
limrto0^+rln r = 0
Multiplicando por 2, continua sendo zero.

Resposta

0

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