Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos aqui a sequência
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número específico quando
cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatoriais e como eles se comportam quando aumentamos o número
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um fatorial. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
. Por exemplo,
.
No nosso caso, temos dois fatoriais:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Isso significa que podemos reescrever o denominador:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão no denominador da nossa sequência:
Perceba que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma expressão mais simples:
. Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
cresce.
Multiplicando os termos no denominador:
Então, a sequência fica:
Passo 6
Vamos agora ver o que acontece com
quando
tende ao infinito (
):
À medida que
aumenta,
domina o denominador, então a expressão se aproxima de:
Passo 7
Portanto, concluímos que a sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.