Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
an=(3 n-1) !(3 n+1) !

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos aqui a sequência an = (3n - 1)!(3n + 1)! . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número específico quando n cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatoriais e como eles se comportam quando aumentamos o número n .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um fatorial. O fatorial de um número k , representado por k! , é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até k . Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120 .
No nosso caso, temos dois fatoriais:
  • (3n - 1)!
  • (3n + 1)!

Passo 3

Vamos simplificar a expressão (3n - 1)!(3n + 1)! . Sabemos que (3n + 1)! = (3n + 1) times (3n) times (3n - 1)! . Isso significa que podemos reescrever o denominador:
(3n + 1)! = (3n + 1) times (3n) times (3n - 1)!

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no denominador da nossa sequência:
an = (3n - 1)!(3n + 1)! = (3n - 1)!(3n + 1) times (3n) times (3n - 1)!
Perceba que (3n - 1)! aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
an = 1(3n) times (3n + 1)

Passo 5

Agora, temos uma expressão mais simples: an = 1(3n) times (3n + 1) . Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando n cresce.
Multiplicando os termos no denominador:
(3n) times (3n + 1) = 9n^2 + 3n
Então, a sequência fica:
an = 19n^2 + 3n

Passo 6

Vamos agora ver o que acontece com an quando n tende ao infinito ( n infty ):
limn to infty 19n^2 + 3n
À medida que n aumenta, 9n^2 domina o denominador, então a expressão se aproxima de:
limn to infty 19n^2 = 0

Passo 7

Portanto, concluímos que a sequência an = (3n - 1)!(3n + 1)! converge para 0 quando n tende ao infinito.

Resposta

A sequência an = (3n - 1)!(3n + 1)! é convergente e seu limite é 0.

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