Assinale a única integral divergente.
square integral-infty^infty e^-x^2 d x
0 integral0^3 1raiz[3](x-3)^5 d x
(8) integral1^2 1raizx-1 d x
square integral0^pi4 sec ^2 x d x
square integral1^infty x^4+6 x+2x^7+9 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre cinco integrais impróprias, a única que diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias, seja por comportamento em infinito ou por singularidade interna. Vamos analisar cada caso.

Passo 2

Analisando
integral-infty^infty e^-x^2,dx
sabemos que é a integral gaussiana clássica, que converge e vale raizpi. Logo, esta é convergente.

Passo 3

Analisando
integral0^3 1raiz[3](x-3)^5,dx
escrevemos o integrando como
1(x-3)^5/3=1(-(3-x))^5/3
e testamos a convergência em xto3^- por comparação de p-integral:
integral0^3dx|3-x|^5/3simintegralvarepsilon^3dtt^5/3,
onde t=3-x. Como 5/3>1, a integral
integral0^de<at^-5/3dt
diverge. Portanto esta integral é divergente.

Passo 4

Analisando
integral1^2 1raizx-1,dx
tem singularidade de tipo (x-1)^-1/2 em x=1. Sabemos que
integral1^2(x-1)^-1/2,dx =2raizx-1|1^2=2,
então é convergente.

Passo 5

Analisando
integral0^pi4 sec^2x,dx
basta usar antiderivada tan x:
integral0^pi/4sec^2x,dx =tan x|0^pi/4=1-0=1,
converge.

Passo 6

Analisando
integral1^inftyx^4+6x+2x^7+9x+4,dx
para xtoinfty o integrando se comporta como x^4/x^7=x^-3. E
integral1^inftyx^-3,dx
converge (pois 3>1). Logo a integral original converge por comparação.

Resposta

A única integral divergente é
integral0^3 1raiz[3](x-3)^5,dx

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