Encontre o raio e o intervalo de convergência da série a seguir:
sumn >= 0 (x-2)^nn^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn >= 0 (x-2)^nn^2-1
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge. Precisamos entender como os termos da série se comportam conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série sum an , calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = (x-2)^nn^2-1
Agora, calculamos an+1 :
an+1 = (x-2)^n+1(n+1)^2-1

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
an+1an = (x-2)^n+1(n+1)^2-1 cdot n^2-1(x-2)^n = |x-2| cdot n^2-1(n+1)^2-1

Passo 5

Vamos simplificar o limite:
L = limn to infty |x-2| cdot n^2-1(n+1)^2-1
Observando que, quando n é muito grande, n^2-1 e (n+1)^2-1 são aproximadamente n^2 , então:
L approx |x-2| cdot n^2n^2 = |x-2|

Passo 6

Agora, para a série convergir, precisamos que L < 1 :
|x-2| < 1
Isso nos diz que o raio de convergência R é 1.

Passo 7

Com o raio de convergência R = 1 e o centro da série em x = 2 , o intervalo de convergência inicial é:
2 - 1 < x < 2 + 1 Rightarrow 1 < x < 3

Passo 8

Porém, precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, x = 1 e x = 3 :
  • Para x = 1 :
sumn >= 0 (1-2)^nn^2-1 = sumn >= 0 (-1)^nn^2-1
Essa série converge por ser alternada e os termos 1n^2-1 tendem a zero.
  • Para x = 3 :
sumn >= 0 (3-2)^nn^2-1 = sumn >= 0 1n^2-1
Essa também converge por ser uma série p com p = 2 > 1 .

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e o intervalo de convergência é [1,,3] .

Exercícios relacionados