Encontre uma fórmula para o termo geral xn da sequência (xn) dada por
(0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, ldots)
admitindo-se que o padrão dos primeiros termos continua.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar uma fórmula para o termo geral xn da sequência (xn) que é dada por (0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, ldots) . O conteúdo envolvido aqui são sequências periódicas, ou seja, sequências que repetem um padrão após certo número de termos. Para resolver, vamos identificar o padrão da sequência e descobrir como expressar isso matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o padrão da sequência. Olhando os termos:
  • x1 = 0
  • x2 = -1
  • x3 = 0
  • x4 = 1
  • x5 = 0
  • x6 = -1
  • x7 = 0
  • x8 = 1
Vemos que após cada 4 termos, o padrão se repete: 0, -1, 0, 1 . Portanto, a sequência é periódica com período 4.

Passo 3

Como a sequência se repete a cada 4 termos, podemos relacionar o termo geral xn ao resto da divisão de n por 4, que chamamos de n mod 4 . Esse resto nos ajudará a identificar qual valor do padrão corresponde a cada posição n .

Passo 4

Vamos criar uma fórmula que atribui o valor correto a xn com base no valor de n mod 4 :
  • Se n mod 4 = 1 ou n mod 4 = 3 , então xn = 0
  • Se n mod 4 = 2 , então xn = -1
  • Se n mod 4 = 0 , então xn = 1

Passo 5

Para expressar isso matematicamente, usamos a função módulo [\mod) e definimos em termos de casos:
Isso significa que, dependendo do resto da divisão de assume um dos valores do padrão identificado.

Resposta

A fórmula para o termo geral xn da sequência é:
xn = 0, & se n mod 4 = 1 ou 3 -1, & se n mod 4 = 2 1, & se n mod 4 = 0

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