Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência dada por
admitindo-se que o padrão dos primeiros termos continua.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência que é dada por . O conteúdo envolvido aqui são sequências periódicas, ou seja, sequências que repetem um padrão após certo número de termos. Para resolver, vamos identificar o padrão da sequência e descobrir como expressar isso matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o padrão da sequência. Olhando os termos:
Vemos que após cada 4 termos, o padrão se repete: . Portanto, a sequência é periódica com período 4.
Passo 3
Como a sequência se repete a cada 4 termos, podemos relacionar o termo geral ao resto da divisão de por 4, que chamamos de . Esse resto nos ajudará a identificar qual valor do padrão corresponde a cada posição .
Passo 4
Vamos criar uma fórmula que atribui o valor correto a com base no valor de :
Se ou , então
Se , então
Se , então
Passo 5
Para expressar isso matematicamente, usamos a função módulo [\mod) e definimos em termos de casos:
Isso significa que, dependendo do resto da divisão de assume um dos valores do padrão identificado.
Resposta
A fórmula para o termo geral xn da sequência é:
xn = 0, & se n mod 4 = 1 ou 3 -1, & se n mod 4 = 2 1, & se n mod 4 = 0