Derive
e encontre uma série de potências para
exibindo o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer nesse exercício é derivar a função $ \frac{1}{x - 2} $ e depois encontrar uma série de potências para essa derivada, além de mostrar o intervalo onde essa série “funciona” direitinho (chamado intervalo de convergência). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e séries de potências, especialmente a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função $ \frac{1}{x - 2} $. Para isso, usamos a regra da derivada de uma função do tipo $ \frac{1}{u} $, que é $ -\frac{u’}{u^2} $.
Aqui, $ u = x - 2 $, então $ u’ = 1 $.
Aplicando a regra:
Então, a derivada é $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma série de potências para a derivada $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série:
Agora, observe que podemos manipular essa expressão para se assemelhar à forma da série geométrica, que é:
Para adaptar nossa função a essa forma, fazemos uma substituição. Vamos definir $ u = \frac{x}{2} $, então $ x = 2u $. Substituindo na expressão:
Sabemos que a derivada da série geométrica é:
Multiplicando ambos os lados por $ -\frac{1}{4} $ e substituindo $ u = \frac{x}{2} $, temos:
Simplificando a expressão:
Então, a série de potências para $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $ é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} r^n $ converge quando $ |r| < 1 $.
No nosso caso, temos $ r = \frac{x}{2} $. Portanto, a condição para convergência é:
Então, o intervalo de convergência é:
Resposta
A derivada de $ \frac{1}{x - 2} $ é $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $. A série de potências correspondente a essa derivada é:
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os $ x $ tais que $ -2 < x < 2 $.