Derive 1x-2 e encontre uma série de potências para ddx(1x-2) exibindo o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer nesse exercício é derivar a função $ \frac{1}{x - 2} $ e depois encontrar uma série de potências para essa derivada, além de mostrar o intervalo onde essa série “funciona” direitinho (chamado intervalo de convergência). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e séries de potências, especialmente a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função $ \frac{1}{x - 2} $. Para isso, usamos a regra da derivada de uma função do tipo $ \frac{1}{u} $, que é $ -\frac{u’}{u^2} $.
Aqui, $ u = x - 2 $, então $ u’ = 1 $.
Aplicando a regra:
1x - 2
Então, a derivada é $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma série de potências para a derivada $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série:
-1(x - 2)^2
Agora, observe que podemos manipular essa expressão para se assemelhar à forma da série geométrica, que é:
-1(x - 2)^2 = -1[2 - x]^2
Para adaptar nossa função a essa forma, fazemos uma substituição. Vamos definir $ u = \frac{x}{2} $, então $ x = 2u $. Substituindo na expressão:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Sabemos que a derivada da série geométrica é:
u = x2
Multiplicando ambos os lados por $ -\frac{1}{4} $ e substituindo $ u = \frac{x}{2} $, temos:
x = 2u
Simplificando a expressão:
-1(2 - x)^2 = -1(2 - 2u)^2 = -14(1 - u)^2
Então, a série de potências para $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $ é:
ddu(11 - u) = 1(1 - u)^2 = sumn=1^infty n u^n-1

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} r^n $ converge quando $ |r| < 1 $.
No nosso caso, temos $ r = \frac{x}{2} $. Portanto, a condição para convergência é:
sumn=0^infty r^n
Então, o intervalo de convergência é:
|r| < 1

Resposta

A derivada de $ \frac{1}{x - 2} $ é $ -\frac{1}{(x - 2)^2} $. A série de potências correspondente a essa derivada é:
1x - 2
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os $ x $ tais que $ -2 < x < 2 $.

Exercícios relacionados