Assinale (V)erdadeiro ou (F)also:
(a) Se
é auto-valor do operador invertível
, então
é auto-valor de
.
(b) O polinômio característico do operador
é a soma dos polinômios característicos de
e
.
© Se
é um auto-vetor comum aos operadores
e
, então
é auto-vetor de
e de
.
(a) Se
(b) O polinômio característico do operador
© Se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos três afirmações sobre operadores lineares em espaço vetorial de dimensão finita, envolvendo conceitos de autovalor de operador invertível, polinômio característico e vetores próprios comuns. Vamos usar teoria de autovalores e propriedades de polinômios característicos.
Passo 2
Para (a), se A é invertível e v≠0 satisfaz A v=λ v com λ≠0, aplicamos A^{-1} em ambos os lados: A^{-1}(A v)=A^{-1}(λ v). Como A^{-1}A=I, isso dá v=λ A^{-1} v. Reescrevendo, A^{-1} v=λ^{-1} v. Logo λ^{-1} é autovalor de A^{-1}.
Passo 3
Para (b), o polinômio característico de um operador C é det(C–tI). Em geral det((A+B)–tI)≠det(A–tI)+det(B–tI). A soma de determinantes não corresponde ao determinante da soma. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Para ©, seja v≠0 com A v=λ v e B v=μ v. Então (A+B)v=A v +B v=λ v+μ v=(λ+μ)v, logo v é vetor próprio de A+B com autovalor λ+μ. E B A v=B(λ v)=λ B v=λ μ v, ou seja BA v=(λμ)v, então v é vetor próprio de BA.
Passo 5
Segue a resposta final. Por (a) verdadeiro, (b) falso, © verdadeiro.
Resposta
(a) V, (b) F, © V