Considere o operador linear F: R^3 R^3 tal que v=(1,0,0) é auto-vetor com auto-valor nulo, F(0,1,0)=(0,2,1) e F(0,-1,1)=(0,0,3). Determine F(x, y, z).

Passo 1

Começando pelo enunciado: temos um operador linear F: R^3to R^3 tal que
F(1,0,0)=0 (ou seja, e1=(1,0,0) é autovetor de autovalor zero),
F(0,1,0)= (0,2,1),
F(0,-1,1)= (0,0,3).
O conteúdo que vamos usar é a linearidade de F e a base canônica de R^3.

Passo 2

Já sabemos que F(0,1,0)=F(e2)=(0,2,1). Usando a linearidade em F(0,-1,1)=F(-e2+e3)=-F(e2)+F(e3)=(0,0,3), temos
-F(e2)+F(e3)=(0,0,3)
Substituindo F(e2)=(0,2,1) obtemos
F(e3)=(0,2,1)+(0,0,3)=(0,2,4)

Passo 3

Como F(e1)=F(1,0,0)=0 e qualquer vetor (x,y,z) da base canônica se escreve
(x,y,z)=x,e1+y,e2+z,e3,
a linearidade nos dá
F(x,y,z)=xF(e1)+yF(e2)+zF(e3)

Passo 4

Substituindo os valores encontrados: F(e1)=(0,0,0), F(e2)=(0,2,1) e F(e3)=(0,2,4), resulta em
F(x,y,z)=(0,2y+2z,;y+4z)

Resposta

F(x,y,z)=(0,,2(y+z),,y+4z)

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