Sejam f: a b, g: b c e h: c d funções.
Mostre que se f for bijetiva, então f^-1 circ f=1a e f circ f^-1=1b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função bijetiva fcolon Ato B, sua inversa satisfaz f^-1circ f=1A e fcirc f^-1=1B. Estamos trabalhando com teoria de funções inversas e identidade.

Passo 2

Como f é bijetiva, ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Isso garante a existência de uma única função inversa f^-1colon Bto A cuja definição é dada pelas condições abaixo para todo xin A e yin B:
f^-1(f(x))=x
f(f^-1(y))=y

Passo 3

Para provar f^-1circ f=1A, basta olhar para um elemento arbitrário xin A e calcular:
(f^-1circ f)(x)=f^-1(f(x))
Pela definição de inversa temos f^-1(f(x))=x. E como a identidade 1A satisfaz 1A(x)=x, concluímos que
f^-1circ f=1A

Passo 4

Para provar fcirc f^-1=1B, usamos um argumento análogo. Seja yin B. Então
(fcirc f^-1)(y)=f(f^-1(y))
e pela definição de inversa temos f(f^-1(y))=y. Como 1B(y)=y, segue que
fcirc f^-1=1B

Resposta

f^-1circ f=1A e fcirc f^-1=1B.

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