Sejam
e
funções.
Mostre que se
for bijetiva, então
e
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função bijetiva
, sua inversa satisfaz
e
. Estamos trabalhando com teoria de funções inversas e identidade.
Passo 2
Como
é bijetiva, ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Isso garante a existência de uma única função inversa
cuja definição é dada pelas condições abaixo para todo
e
:
Passo 3
Para provar
, basta olhar para um elemento arbitrário
e calcular:
Pela definição de inversa temos
. E como a identidade
satisfaz
, concluímos que
Passo 4
Para provar
, usamos um argumento análogo. Seja
. Então
e pela definição de inversa temos
. Como
, segue que