Encontre uma matriz diagonal semelhante à matriz ccc3 & -1 & -1 -6 & 1 & 2 1 & -2 & 5.

Passo 1

A questão pede para encontrar uma matriz diagonal semelhante à matriz A=3 & -1 & -1 -6 & 1 & 2 1 & -2 & 5. O conteúdo é diagonalização: para achar uma matriz D diagonal tal que D=P^-1AP, precisamos das raízes do polinômio característico (os autovalores de A).

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Tem-se
A-lambda I=3-lambda & -1 & -1 -6 & 1-lambda & 2 1 & -2 & 5-lambda,
e
det(A-lambda I)=(3-lambda)l((1-lambda)(5-lambda)-2cdot(-2)r)-(-1)l(-6(5-lambda)-2cdot1r)+(-1)l(-6(-2)-(1-lambda)1r)

Passo 3

Fazendo as contas dá
det(A-lambda I)=-lambda^3+9lambda^2-22lambda-16=0,
ou seja, no formato usual
lambda^3-9lambda^2+22lambda+16=0

Passo 4

Para resolver esse cúbico usamos a mudança de variável lambda=t+3. Substituindo, obtemos o cúbico “depressivo”
t^3-5t+28=0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cardano, definimos
De

Passo 6

O autovalor real é
t1=u+v, lambda1=t1+3,
e os outros dois são complexos conjugados
t2=omega u+omega^2v, t3=omega^2u+omega v, lambda2,3=t2,3+3,
onde omega=e^2pi i/3=-tfrac12+tfracraiz32i. Como os três autovalores são distintos, A é diagonalizável sobre C.

Resposta

Uma matriz diagonal semelhante a A é
D=diag(lambda1,,lambda2,,lambda3),
com
lambda1=3+raiz[3]-14+raiz5167/27+raiz[3]-14-raiz5167/27,
lambda2=3+omegaraiz[3]-14+raiz5167/27+omega^2raiz[3]-14-raiz5167/27,
lambda3=3+omega^2raiz[3]-14+raiz5167/27+omegaraiz[3]-14-raiz5167/27,
onde omega=e^2pi i/3.

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