Determine uma base de R^3 na qual o operador A(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 y+6 z,-y-z) tem uma matriz triangular. Exiba essa matriz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de R^3 na qual a matriz do operador linear
A\bigl(x,y,z\bigr)=(x+2y-3z,,4y+6z,,-y-z) fique triangular. O conteúdo envolve
triangularização de operadores lineares, para a qual vamos precisar de autovalores,
autovetores e, no caso de autovalor com multiplicidade algébrica maior que a geométrica,
vetores generalizados.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de A na base canônica e1,e2,e3:
M= 1 & 2 & -3 0 & 4 & 6 0 & -1 & -1
Em seguida, calculamos o polinômio característico:
det(M-lambda I)=(1-lambda)((4-lambda)(-1-lambda)-6cdot(-1))=(1-lambda)(lambda-1)(lambda-2)
Logo, os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (multiplicidade 1).

Passo 3

Para lambda=2, resolvemos (M-2I)v=0 e obtemos o autovetor
v3=(9,3,-1)
Para lambda=1, o sistema (M-I)v=0 dá espaço próprio de dimensão 1, gerado por
v1=(1,0,0)
Como a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, precisamos de um vetor generalizado
w tal que (M-I)w seja não nulo e esteja em lang<= v1rang<=.

Passo 4

Escolhemos
w=(0,2,-1),
pois
(M-I)w=(7,0,0)=7,v1
Assim, a cadeia v1, w gera o bloco de Jordan associado a lambda=1.

Passo 5

Tomando a base
B=lv1=(1,0,0),;w=(0,2,-1),;v3=(9,3,-1)r,
os cálculos de imagem são:
A(v1)=1,v1, A(w)=7,v1+1,w, A(v3)=2,v3
Portanto, a matriz de A em B é triangular superior com entradas diagonais 1,1,2 e
um único coeficiente acima da diagonal principal no bloco de lambda=1.

Resposta

Uma base que triangulariza A é
B=(1,0,0),;(0,2,-1),;(9,3,-1)
Na base B, a matriz de A é
1 & 7 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

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