Determine uma base de na qual o operador tem uma matriz triangular. Exiba essa matriz.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base de na qual a matriz do operador linear
A\bigl(x,y,z\bigr)=(x+2y-3z,,4y+6z,,-y-z) fique triangular. O conteúdo envolve
triangularização de operadores lineares, para a qual vamos precisar de autovalores,
autovetores e, no caso de autovalor com multiplicidade algébrica maior que a geométrica,
vetores generalizados.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de na base canônica :
Em seguida, calculamos o polinômio característico:
Logo, os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (multiplicidade 1).
Passo 3
Para lambda=2, resolvemos (M-2I)v=0 e obtemos o autovetor
v3=(9,3,-1)
Para lambda=1, o sistema (M-I)v=0 dá espaço próprio de dimensão 1, gerado por
v1=(1,0,0)
Como a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, precisamos de um vetor generalizado w tal que (M-I)w seja não nulo e esteja em lang<= v1rang<=.
Passo 4
Escolhemos
w=(0,2,-1),
pois
(M-I)w=(7,0,0)=7,v1
Assim, a cadeia v1, w gera o bloco de Jordan associado a lambda=1.
Passo 5
Tomando a base
B=lv1=(1,0,0),;w=(0,2,-1),;v3=(9,3,-1)r,
os cálculos de imagem são:
A(v1)=1,v1, A(w)=7,v1+1,w, A(v3)=2,v3
Portanto, a matriz de A em B é triangular superior com entradas diagonais 1,1,2 e
um único coeficiente acima da diagonal principal no bloco de lambda=1.