Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então sumn=1^+infty p(n)q(n) converge.
5
Considere a série sumn=1^+infty an, sendo que:
a1=1 e an+1=(1+arctan nn) cdot an
Determine se a série sumn=1^+infty an converge ou diverge.
6
Verifique se são convergentes:
(a) sumn=1^+infty 1raiz[n]n

Passo 1

Temos três questões de séries infinitas.
  1. Um V/F sobre
    sumn=1^inftyp(n)q(n),
    onde p e q são polinômios com deg p<deg q.
  2. No exercício 5, analisar a convergência de
sumn=1^inftyan,
com
a1=1, an+1=1+arctan nn,an
  1. No item 6(a), verificar se
    sumn=1^infty1raiz[n]n
    converge ou diverge.
    Usaremos comparação com série p-, teste da razão (ou da raiz) e o teste da divergência.

Passo 2

Analisando
sumn=1^inftyp(n)q(n):
sejam d=deg p e D=deg q com d<D. Para n grande,
p(n)q(n) =Ol(n^,d-Dr)
Logo essa série se compara à série p-
sum n^-(D-d),
que só converge se e somente se D-d>1. A afirmação dada diz apenas d<D (isto é, D-d>=1), mas não garante D-d>1. No caso limite D-d=1 temos p(n)q(n)sim C/n e a série diverge. Portanto a afirmação é Falsa.

Passo 3

Para
sumn=1^infty an com
an+1=1+arctan nn,an,
aplicamos o teste da razão:
an+1an =1+arctan nn
Como arctan ntopi/2, para n grande
an+1ansim1+pi/2nto0
Em particular a razão fica menor que 1 a partir de algum N, logo a série converge absolutamente. Alternativamente, pelo teste da raiz:
limntoinftyraiz[n]an =expl(limntoinftyln annr) =0<1,
confirmando convergência.

Passo 4

Para
sumn=1^infty1raiz[n]n =sumn=1^infty n^-1/n,
observamos que
limntoinftyn^-1/n =expl(limntoinfty-tfracln nnr) =1
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge pelo teste da divergência.

Resposta

  1. F
    Exercício 5) converge
    Exercício 6(a)) diverge

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