Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.
5
Considere a série
, sendo que:
Determine se a série
converge ou diverge.
6
Verifique se são convergentes:
(a)
( ) Sejam
5
Considere a série
6
Verifique se são convergentes:
(a)
Passo 1
Temos três questões de séries infinitas.
- Um V/F sobre
,
ondee são polinômios com . - No exercício 5, analisar a convergência de
com
- No item 6(a), verificar se
converge ou diverge.
Usaremos comparação com série-, teste da razão (ou da raiz) e o teste da divergência.
Passo 2
Analisando
:
sejam e
com
. Para
grande,
sejam
Logo essa série se compara à série
-
que só converge se e somente se
. A afirmação dada diz apenas
(isto é,
), mas não garante
. No caso limite
temos
e a série diverge. Portanto a afirmação é Falsa.
Passo 3
Para
com
aplicamos o teste da razão:
Como
, para
grande
Em particular a razão fica menor que 1 a partir de algum
, logo a série converge absolutamente. Alternativamente, pelo teste da raiz:
confirmando convergência.
Passo 4
Para
observamos que
observamos que
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge pelo teste da divergência.
Resposta
- F
Exercício 5) converge
Exercício 6(a)) diverge