Calcule os seguintes limites:
lim x 2 raiz[n]x-raiz[n]2x^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede
limxto2raiz[n]x-raiz[n]2x^2-3x+2,
que é do tipo 0/0. O conteúdo principal aqui é limite e derivada de f(x)=x^1/n.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-3x+2=(x-2)(x-1)
Assim a expressão fica
raiz[n]x-raiz[n]2(x-2)(x-1)

Passo 3

Reescrevemos como produto de dois fatores:
raiz[n]x-raiz[n]2x-2;cdot;1x-1
O primeiro é a diferença quociente de f(x)=x^1/n em x=2.

Passo 4

Pela definição de derivada,
limxto2raiz[n]x-raiz[n]2x-2 =f'(2) =1n,2^1n-1,
enquanto
limxto21x-1 =12-1 =1
Multiplicando esses resultados, obtemos o limite desejado.

Resposta

1n2^1n-1

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