Calcule os seguintes limites:
lim x -2 raizx^3+816-x^4

Passo 1

O enunciado pede
limxto -2raizx^3+816-x^4
Isso é um limite de função composta envolvendo radical. Para resolver, vamos primeiro estudar o limite da fração dentro da raiz, usando fatoração para eliminar a indeterminação 0/0, e depois aplicar a continuidade da função raizcdot em números positivos.

Passo 2

Se fizermos x=-2 dentro da fração obtemos
(-2)^3+816-(-2)^4=-8+816-16=00,
ou seja, forma indeterminada. Então fatoramos numerador e denominador:
– Numerador:
x^3+8=(x+2),(x^2-2x+4)
– Denominador:
16 - x^4 = (4 - x^2)(4 + x^2) = -(x^2-4)(x^2+4) = -(x-2)(x+2)(x^2+4)

Passo 3

Substituindo na fração dentro da raiz e cancelando o fator comum (x+2) (válido para xneq -2), obtemos
x^3+816-x^4 = (x+2)(x^2-2x+4)-(x+2)(x-2)(x^2+4) = -x^2-2x+4(x-2)(x^2+4)
Agora calculamos o limite dessa expressão quando xto -2:
limxto -2l(-x^2-2x+4(x-2)(x^2+4)r) = -(-2)^2 -2(-2)+4(-2-2),l((-2)^2+4r) = -4+4+4(-4),(4+4) = -12-32 = 38

Passo 4

Para x próximo de -2 (mas neq -2), a fração
x^3+816-x^4
fica positiva (pois numerador e denominador mudam de sinal simultaneamente). Assim o radical
raizcdot
está bem definido e é contínuo. Logo
limxto -2raizx^3+816-x^4 =raizlimxto -2x^3+816-x^4 =raiz38

Resposta

raiz38 (ou ainda raiz64)

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