Calcule os seguintes limites:
lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2raiz[3]x-raiz[3]2x^2-3x+2
Perceba que ao substituir x=2 direto temos forma indeterminada 0/0. Vamos usar a técnica de racionalização da diferença de cubos (identidade de a^3-b^3) para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Observe que o denominador fatora como
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Logo a expressão original é equivalente a
raiz[3]x-raiz[3]2(x-1)(x-2)

Passo 3

Para racionalizar o numerador usamos a identidade
a-b=a^3-b^3a^2+ab+b^2
Tomando a=raiz[3]x e b=raiz[3]2, temos
raiz[3]x-raiz[3]2 =l(raiz[3]xr)^3-l(raiz[3]2r)^3 l(raiz[3]xr)^2+raiz[3]x,raiz[3]2+l(raiz[3]2r)^2 =x-2raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4

Passo 4

Substituindo essa expressão no limite, fica
limxto 2 x-2raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4 (x-1)(x-2) =limxto 2 1(x-1),l(raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4r),
pois o fator x-2 cancela.

Passo 5

Agora é só substituir x=2 de forma direta:
(x-1)l(raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4r)|x=2 =(2-1)l(raiz[3]4+raiz[3]4+raiz[3]4r) =3,raiz[3]4 =3cdot 2^tfrac23
Portanto o limite vale
13cdot 2^tfrac23

Resposta

limxto 2raiz[3]x-raiz[3]2x^2-3x+2 =13,2^tfrac23

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