Calcule os seguintes limites:
lim x 2 raiz[4]x-raiz[4]2x^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite envolvendo radicais e um polinômio no denominador:
limxto 2raiz[4]x-raiz[4]2x^2-3x+2
O conteúdo principal é limite de indeterminação do tipo tfrac00 e as técnicas que vamos usar são fatoração do denominador e racionalização do numerador (diferença de potências).

Passo 2

Substituindo x=2 diretamente, o numerador fica raiz[4]2-raiz[4]2=0 e o denominador fica 2^2-3cdot2+2=4-6+2=0. Logo temos uma forma indeterminada tfrac00 e precisamos manipular algebricamente para eliminar esse problema.

Passo 3

Fatoramos o polinômio do denominador:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)

Passo 4

Racionalizamos o numerador usando a fatoração da diferença de potências de quarto grau. Chamando a=raiz[4]x e b=raiz[4]2, temos
a^4-b^4 = (a-b)l(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3r)
Como a^4-b^4 = x-2, segue que
raiz[4]x-raiz[4]2 = x-2,x^3/4 + x^1/2,2^1/4 + x^1/4,2^1/2 + 2^3/4,

Passo 5

Substituindo essa expressão e a fatoração do denominador no limite, obtemos
limxto 2 x-2x^3/4 + x^1/22^1/4 + x^1/42^1/2 + 2^3/4 (x-1)(x-2) =limxto 2 1(x-1),l(x^3/4 + x^1/22^1/4 + x^1/42^1/2 + 2^3/4r)
Aqui cancelamos o fator (x-2).

Passo 6

Agora basta substituir x=2 na expressão simplificada:
x-1 = 2-1 = 1, x^3/4 = 2^3/4, x^1/22^1/4 = 2^3/4, x^1/42^1/2 = 2^3/4,
então o somatório interno fica 4cdot2^3/4. Logo o limite vale
11cdot 4cdot2^3/4 = 14,2^3/4

Resposta

boxed14,2^3/4

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