Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite envolvendo radicais e um polinômio no denominador:
O conteúdo principal é limite de indeterminação do tipo
e as técnicas que vamos usar são fatoração do denominador e racionalização do numerador (diferença de potências).
Passo 2
Substituindo
diretamente, o numerador fica
e o denominador fica
. Logo temos uma forma indeterminada
e precisamos manipular algebricamente para eliminar esse problema.
Passo 3
Fatoramos o polinômio do denominador:
Passo 4
Racionalizamos o numerador usando a fatoração da diferença de potências de quarto grau. Chamando
e
, temos
Como
, segue que
Passo 5
Substituindo essa expressão e a fatoração do denominador no limite, obtemos
Aqui cancelamos o fator
.
Passo 6
Agora basta substituir
na expressão simplificada:
então o somatório interno fica
. Logo o limite vale