Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional p, com uma dada margem de erro e nível de confiança, se você tem conhecimento de que p \leq 0,7, você pode usar uma amostra menor do que o estabelecido pela fórmula conservadora. (Se considerar falsa, justifique)

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Afirmação dada: “Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional p, com uma dada margem de erro e nível de confiança, se você tem conhecimento de que p \leq 0,7, você pode usar uma amostra menor do que o estabelecido pela fórmula conservadora.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma margem de erro fixa (vou chamar de E).
  • Há um nível de confiança fixo (representado pelo quantil z_{\alpha/2}).
  • A afirmação envolve comparar o tamanho de amostra obtido usando informação adicional p \leq 0,7 com o tamanho obtido pela fórmula conservadora (que normalmente toma p=0,5).
    Não se resolve nada aqui; só listei o pedido e os dados do enunciado.

Passo 2

Apresentando a fórmula usada e explicando cada termo (aula rápida, bem mastigada).
Fórmula básica para o tamanho da amostra ao estimar uma proporção (aproximação normal, sem correção para população finita):
n \;=\; \frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
O que cada símbolo significa:
  • n: tamanho de amostra que queremos encontrar.
  • z_{\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95% de confiança z_{\alpha/2}\approx 1,96).
  • p: proporção populacional verdadeira (desconhecida).
  • E: margem de erro desejada (por exemplo E=0,05 para ±5%).
    Por que essa fórmula importa: o termo p(1-p) é a variância de uma variável Bernoulli com parâmetro p; ele determina quanta variabilidade a proporção amostral terá. Quanto maior p(1-p), maior o n necessário para manter a mesma margem de erro E.

Passo 3

O que é a “fórmula conservadora” e por que ela existe (mini-aula de otimização simples).
  • A fórmula conservadora toma p=0,5 porque a função p(1-p) atinge seu máximo em p=0,5.
    Mostrar isso rapidamente: considere f(p)=p(1-p)=p-p^2.
    Derivada f'(p)=1-2p. Zera em p=0,5. Segunda derivada f''(p)=-2<0, então é máximo. O valor máximo é
f(0,5)=0,5(1-0,5)=0,25.
Logo a fórmula conservadora é
n_{\text{cons}}=\frac{z_{\alpha/2}^2\cdot 0,25}{E^2}.
Intuição: se você não sabe nada sobre p, usar p=0,5 garante que o n calculado é suficiente para qualquer p, porque esse n foi calculado com a maior variância possível.

Passo 4

Analisando especificamente a hipótese "se você tem conhecimento de que p \leq 0,7".
Matematicamente precisamos encontrar o máximo de p(1-p) quando p varia no intervalo [0,0,7].
  • A função p(1-p) atinge seu máximo global em p=0,5.
  • Como 0,5 pertence ao intervalo [0,0,7], o máximo de p(1-p) sobre esse intervalo continua sendo 0,25 (ocorre em p=0,5).
    Conclusão prática: saber apenas que p \leq 0,7 não elimina o ponto p=0,5 como possibilidade de p. Portanto o pior caso (o que exige mais amostra) permanece p=0,5, isto é, o tamanho conservador não diminui. Logo a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 5

Dar um exemplo numérico para fixar bem a ideia (faça na prova igualzinho, sem calculadora, arredondando o final).
Escolha comum: nível de confiança 95% \Rightarrow z_{\alpha/2}\approx 1,96 e E=0,05.
  • Fórmula conservadora:
n_{\text{cons}}=\frac{1,96^2\cdot 0,25}{0,05^2}.
Calcule passo a passo: 1,96^2\approx 3,8416. Multiplicando por 0,25 0,9604. Dividindo por 0,05^2=0,0025
n_{\text{cons}}\approx \frac{0,9604}{0,0025}\approx 384,16,
arredondando para cima n=385.
Se você apenas sabe p\le 0,7, o pior caso dentro desse conhecimento continua sendo p=0,5, então você ainda precisa de n\approx 385. Não há redução.
Agora um contraste: se você soubesse que p\le 0,3 (ou simetricamente p\ge 0,7), então o máximo de p(1-p) sobre [0,0,3] é no extremo p=0,3 (porque a função cresce até 0,5, e 0,3 < 0,5), dando p(1-p)=0,3\cdot 0,7=0,21. Nesse caso
n=\frac{1,96^2\cdot 0,21}{0,05^2}\approx \frac{3,8416\cdot 0,21}{0,0025}\approx \frac{0,806736}{0,0025}\approx 322,69,
arredondando para cima n=323, que é bem menor que 385. Isso mostra que só quando a informação extra exclui p=0,5 do conjunto de possibilidades (isto é, quando o intervalo possível de p não contém 0,5) é que dá para reduzir o tamanho da amostra em relação à fórmula conservadora.

Passo 6

Conclusão final e reescrita da afirmação (vou transformar a frase original, que é falsa, numa versão verdadeira).
  • A afirmação original é falsa porque conhecer apenas p\le 0,7 não exclui p=0,5, que é o ponto de maior variância.
  • Reescrita verdadeira (forma geral e também um exemplo):
    • Forma geral: “Se você tem conhecimento adicional que exclui p=0,5 do conjunto de valores possíveis (por exemplo, sabe que p\le 0,3 ou que p\ge 0,7), então você pode usar uma amostra menor do que a da fórmula conservadora.”
    • Forma exemplo: “Se você sabe que p\le 0,3, com mesma E e mesmo nível de confiança, o n exigido será menor do que o n obtido pela fórmula conservadora.”

Resposta

F\n
Reescrita verdadeira: Se você tem conhecimento adicional que exclui p=0,5 do conjunto de valores possíveis (por exemplo, p\le 0,3 ou p\ge 0,7), então você pode usar uma amostra menor do que a fórmula conservadora.

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