Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional
, com uma dada margem de erro e nível de confiança, se você tem conhecimento de que
, você pode usar uma amostra menor do que o estabelecido pela fórmula conservadora. (Se considerar falsa, justifique)
[ ] Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Afirmação dada: “Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional , com uma dada margem de erro e nível de confiança, se você tem conhecimento de que
, você pode usar uma amostra menor do que o estabelecido pela fórmula conservadora.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Afirmação dada: “Na determinação do tamanho da amostra para estimar a proporção populacional
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma margem de erro fixa (vou chamar de
). - Há um nível de confiança fixo (representado pelo quantil
). - A afirmação envolve comparar o tamanho de amostra obtido usando informação adicional
com o tamanho obtido pela fórmula conservadora (que normalmente toma ).
Não se resolve nada aqui; só listei o pedido e os dados do enunciado.
Passo 2
Apresentando a fórmula usada e explicando cada termo (aula rápida, bem mastigada).
Fórmula básica para o tamanho da amostra ao estimar uma proporção (aproximação normal, sem correção para população finita):
Fórmula básica para o tamanho da amostra ao estimar uma proporção (aproximação normal, sem correção para população finita):
O que cada símbolo significa:
-
: tamanho de amostra que queremos encontrar. -
: quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95% de confiança ). -
: proporção populacional verdadeira (desconhecida). -
: margem de erro desejada (por exemplo para ±5%).
Por que essa fórmula importa: o termoé a variância de uma variável Bernoulli com parâmetro ; ele determina quanta variabilidade a proporção amostral terá. Quanto maior , maior o necessário para manter a mesma margem de erro .
Passo 3
O que é a “fórmula conservadora” e por que ela existe (mini-aula de otimização simples).
- A fórmula conservadora toma
porque a função atinge seu máximo em .
Mostrar isso rapidamente: considere.
Derivada. Zera em . Segunda derivada , então é máximo. O valor máximo é
Logo a fórmula conservadora é
Intuição: se você não sabe nada sobre
, usar
garante que o
calculado é suficiente para qualquer
, porque esse
foi calculado com a maior variância possível.
Passo 4
Analisando especificamente a hipótese "se você tem conhecimento de que
".
Matematicamente precisamos encontrar o máximo de quando
varia no intervalo
.
Matematicamente precisamos encontrar o máximo de
- A função
atinge seu máximo global em . - Como
pertence ao intervalo , o máximo de sobre esse intervalo continua sendo (ocorre em ).
Conclusão prática: saber apenas quenão elimina o ponto como possibilidade de . Portanto o pior caso (o que exige mais amostra) permanece , isto é, o tamanho conservador não diminui. Logo a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 5
Dar um exemplo numérico para fixar bem a ideia (faça na prova igualzinho, sem calculadora, arredondando o final).
Escolha comum: nível de confiança 95% e
.
Escolha comum: nível de confiança 95%
- Fórmula conservadora:
Calcule passo a passo:
. Multiplicando por
dá
. Dividindo por
dá
arredondando para cima
.
Se você apenas sabe , o pior caso dentro desse conhecimento continua sendo
, então você ainda precisa de
. Não há redução.
Agora um contraste: se você soubesse que (ou simetricamente
), então o máximo de
sobre
é no extremo
(porque a função cresce até
, e 0,3 < 0,5), dando
. Nesse caso
Se você apenas sabe
Agora um contraste: se você soubesse que
arredondando para cima
, que é bem menor que 385. Isso mostra que só quando a informação extra exclui
do conjunto de possibilidades (isto é, quando o intervalo possível de
não contém
) é que dá para reduzir o tamanho da amostra em relação à fórmula conservadora.
Passo 6
Conclusão final e reescrita da afirmação (vou transformar a frase original, que é falsa, numa versão verdadeira).
- A afirmação original é falsa porque conhecer apenas
não exclui , que é o ponto de maior variância. - Reescrita verdadeira (forma geral e também um exemplo):
- Forma geral: “Se você tem conhecimento adicional que exclui
do conjunto de valores possíveis (por exemplo, sabe que ou que ), então você pode usar uma amostra menor do que a da fórmula conservadora.” - Forma exemplo: “Se você sabe que
, com mesma e mesmo nível de confiança, o exigido será menor do que o obtido pela fórmula conservadora.”
- Forma geral: “Se você tem conhecimento adicional que exclui
Resposta
F\n
Reescrita verdadeira: Se você tem conhecimento adicional que exclui do conjunto de valores possíveis (por exemplo,
ou
), então você pode usar uma amostra menor do que a fórmula conservadora.
Reescrita verdadeira: Se você tem conhecimento adicional que exclui