Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso), justificando sua resposta.
Mostre que se A é uma matriz triangular superior, então A^2 também é triangular superior

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n e triangular superior, isto é,
aij=0sempre que i>j
Queremos mostrar que, definindo B=A^2, também vale
bik=0sempre que i>k,
ou seja, que B é triangular superior. Para isso, usaremos a definição de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Pelo produto de matrizes, o elemento (i,k) de B é dado por
bik=sumj=1^naij,ajk
Como A é triangular superior, temos duas propriedades úteis:
  1. Se i>j então aij=0.
  2. Se j>k então ajk=0.

Passo 3

Agora, suponha i>k. No somatório
bik=sumj=1^naij,ajk,
cada termo é zero, pois, para cada j:
  • Se j<= k<i, então i>j e aij=0.
  • Se j>k, então ajk=0.
    Logo todo aijajk=0 e, portanto, bik=0. Concluímos que B é triangular superior.

Resposta

Verdadeiro.

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