Assinale
Verdadeiro e
para Falso. Justifique suas respostas.
a) (V) Toda sequência limitada é convergente.
b) (F) Uma sequência divergente não pode admitir subsequência convergente.
c) (V) A sequência com termo geral
converge.
d)
então
é convergente.
e) (F) A soma da série
é
.
a) (V) Toda sequência limitada é convergente.
b) (F) Uma sequência divergente não pode admitir subsequência convergente.
c) (V) A sequência com termo geral
d)
e) (F) A soma da série
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cinco afirmações sobre sequências e séries numéricas como verdadeiras ou falsas, justificando cada escolha. O conteúdo envolve os conceitos de convergência de sequências, subsequências e séries (soma de termos).
Passo 2
Avaliar “Toda sequência limitada é convergente.”
Uma condição clássica em análise é que sequência limitada e monotônica converge, mas sem monotonicidade não há garantia. Por exemplo, a sequência é limitada (fica em
) e não converge, pois oscila entre
e
. Logo a afirmação é falsa.
Uma condição clássica em análise é que sequência limitada e monotônica converge, mas sem monotonicidade não há garantia. Por exemplo, a sequência
Passo 3
Avaliar “Uma sequência divergente não pode admitir subsequência convergente.”
Na verdade, mesmo que a sequência original não tenha limite, é possível extrair dela alguma subsequência que convirja. No exemplo , que diverge, as subsequências de índices pares são constantes iguais a
, logo convergentes. Portanto a afirmação é falsa.
Na verdade, mesmo que a sequência original não tenha limite, é possível extrair dela alguma subsequência que convirja. No exemplo
Passo 4
Avaliar “A sequência com termo geral
converge.”
Trata-se de uma sequência geométrica com razão , cujo valor absoluto é menor que
. Sabe-se que
quando
. Assim
Trata-se de uma sequência geométrica com razão
logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Avaliar “Se
então
é convergente.”
O fato de os termos de uma série tenderem a zero é condição necessária, mas não suficiente para convergência da série. Exemplo clássico é , temos
mas a série harmônica
diverge. Logo a afirmação é falsa.
O fato de os termos de uma série tenderem a zero é condição necessária, mas não suficiente para convergência da série. Exemplo clássico é
Passo 6
Avaliar “A soma da série
é
.”
É uma série geométrica com primeiro termo e razão
. A soma é
É uma série geométrica com primeiro termo
Portanto a afirmação que diz
está incorreta, o valor certo é
.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
b) F
c) V
d) F
e) F