Assinale V Verdadeiro e F para Falso. Justifique suas respostas.
a) (V) Toda sequência limitada é convergente.
b) (F) Uma sequência divergente não pode admitir subsequência convergente.
c) (V) A sequência com termo geral \left(\frac{1}{3}\right)^{n} converge.
d) (\mathrm{V}) \mathrm{Se} a_{n} \rightarrow 0 então \sum a_{n} é convergente.
e) (F) A soma da série \sum\left(\frac{3}{7}\right)^{n} é \frac{7}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos cinco afirmações sobre sequências e séries numéricas como verdadeiras ou falsas, justificando cada escolha. O conteúdo envolve os conceitos de convergência de sequências, subsequências e séries (soma de termos).

Passo 2

Avaliar “Toda sequência limitada é convergente.”
Uma condição clássica em análise é que sequência limitada e monotônica converge, mas sem monotonicidade não há garantia. Por exemplo, a sequência \bigl((-1)^n\bigr) é limitada (fica em [-1,1]) e não converge, pois oscila entre -1 e 1. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Avaliar “Uma sequência divergente não pode admitir subsequência convergente.”
Na verdade, mesmo que a sequência original não tenha limite, é possível extrair dela alguma subsequência que convirja. No exemplo \bigl((-1)^n\bigr), que diverge, as subsequências de índices pares são constantes iguais a 1, logo convergentes. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

Avaliar “A sequência com termo geral \bigl(\tfrac13\bigr)^n converge.”
Trata-se de uma sequência geométrica com razão r=\tfrac13, cujo valor absoluto é menor que 1. Sabe-se que \lim_{n\to\infty}r^n=0 quando \lvert r\rvert<1. Assim
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^n = 0,
logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Avaliar “Se a_{n}\to0 então \sum a_{n} é convergente.”
O fato de os termos de uma série tenderem a zero é condição necessária, mas não suficiente para convergência da série. Exemplo clássico é a_{n}=1/n, temos \lim a_{n}=0 mas a série harmônica \sum 1/n diverge. Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

Avaliar “A soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)^{n} é \tfrac74.”
É uma série geométrica com primeiro termo a=\tfrac37 e razão r=\tfrac37. A soma é
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{\,n-1}= \frac{a}{1-r} = \frac{\frac37}{1-\frac37} = \frac{\tfrac37}{\tfrac47} = \frac{3}{4}.
Portanto a afirmação que diz \tfrac74 está incorreta, o valor certo é \tfrac34.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
e) F

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