Dentre as séries númericas
Quais convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar quais das séries abaixo convergem ou divergem, usando testes de convergência de séries numéricas:
Vamos usar decomposição em frações parciais e telescópico no primeiro, o teste da razão no segundo, critério do termo geral no terceiro e reconhecer série geométrica no quarto.
Passo 2
Estudamos
. Decompomos em frações parciais:
Igualando coeficientes:
e
, logo
,
. Assim
Passo 3
Esse formato leva a soma parcial telescópica:
onde
é o
-ésimo harmônico e
. Portanto
e a série diverge.
Passo 4
Analisamos
pelo teste da razão. Seja
Calculamos
Como
, a série converge absolutamente.
Passo 5
Para
, note que
e o termo geral não tende a zero (tende a
). Logo pelo critério do termo geral a série diverge.
Passo 6
A série
é geométrica de razão
, com
. Portanto converge.