Dentre as séries númericas
\sum \frac{n+2}{n(n+1)}, \sum \frac{2^{n} n!}{n^{n}}, \sum \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}}, \sum\left(\frac{3}{4}\right)^{n}
Quais convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quais das séries abaixo convergem ou divergem, usando testes de convergência de séries numéricas:
\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{n(n+1)},\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n}\,n!}{n^{n}},\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{2n^{2}+1}{n^{2}},\quad \sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}.
Vamos usar decomposição em frações parciais e telescópico no primeiro, o teste da razão no segundo, critério do termo geral no terceiro e reconhecer série geométrica no quarto.

Passo 2

Estudamos \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{n(n+1)}. Decompomos em frações parciais:
\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} \quad\Longrightarrow\quad n+2 = A(n+1)+B n =(A+B)n + A.
Igualando coeficientes: A+B=1 e A=2, logo A=2, B=-1. Assim
\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Esse formato leva a soma parcial telescópica:
S_N = \sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =2H_N - (H_{N+1}-1) =H_N - \frac{1}{N+1} +1,
onde H_N é o N-ésimo harmônico e H_N\to\infty. Portanto S_N\to\infty e a série diverge.

Passo 4

Analisamos \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n}\,n!}{n^{n}} pelo teste da razão. Seja
a_n = \frac{2^{n}\,n!}{n^{n}}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!\,/(\,(n+1)^{n+1})} {2^n n!/(n^n)} =2\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} =2e^{-1} <1.
Como L=2/e<1, a série converge absolutamente.

Passo 5

Para \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2n^{2}+1}{n^{2}}, note que
\frac{2n^{2}+1}{n^{2}} = 2 + \frac{1}{n^{2}}
e o termo geral não tende a zero (tende a 2). Logo pelo critério do termo geral a série diverge.

Passo 6

A série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n} é geométrica de razão r=\tfrac{3}{4}, com |r|<1. Portanto converge.

Resposta

\displaystyle\sum\frac{n+2}{n(n+1)}: diverge \displaystyle\sum\frac{2^{n}\,n!}{n^{n}}: converge \displaystyle\sum\frac{2n^{2}+1}{n^{2}}: diverge \displaystyle\sum\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}: converge

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