Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada da série de potências centrada em
:
Observamos que o termo
não está definido (divisão por
), logo a soma efetivamente começa em
.
Este é um exercício de diferenciação termo a termo de séries de potências: se
Este é um exercício de diferenciação termo a termo de séries de potências: se
então
Passo 2
Identificamos aqui
. Aplicando a fórmula da primeira derivada:
Passo 3
Para escrever essa série com índice começando em zero, basta fazer
, de modo que
. Assim,
Passo 4
Agora usamos a mesma regra para obter a segunda derivada de
. A partir de
temos
Passo 5
Finalmente, para reindexar de modo a começar em zero, faça
:
Resposta
A primeira e a segunda derivadas são, em forma de séries centradas em
: