Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x-7)^{k}}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada da série de potências centrada em x=7:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-7)^{k}}{\sqrt{k}}.
Observamos que o termo k=0 não está definido (divisão por \sqrt{0}), logo a soma efetivamente começa em k=1.
Este é um exercício de diferenciação termo a termo de séries de potências: se
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}(x-7)^{k},
então
f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k\,a_{k}(x-7)^{\,k-1}, \quad f''(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)\,a_{k}(x-7)^{\,k-2}.

Passo 2

Identificamos aqui a_{k}=\frac{1}{\sqrt{k}}. Aplicando a fórmula da primeira derivada:
f'(x) =\sum_{k=1}^{\infty}k\;\frac{1}{\sqrt{k}}\;(x-7)^{\,k-1} =\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\,(x-7)^{\,k-1}.

Passo 3

Para escrever essa série com índice começando em zero, basta fazer n=k-1, de modo que k=n+1. Assim,
f'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\sqrt{n+1}\;(x-7)^{\,n}.

Passo 4

Agora usamos a mesma regra para obter a segunda derivada de f. A partir de
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}(x-7)^{n} \quad\text{com}\quad b_{n}=\sqrt{n+1},
temos
f''(x) =\sum_{n=0}^{\infty}n\,b_{n}\,(x-7)^{\,n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}n\,\sqrt{n+1}\;(x-7)^{\,n-1}.

Passo 5

Finalmente, para reindexar de modo a começar em zero, faça m=n-1 n=m+1:
f''(x) =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,\sqrt{m+2}\;(x-7)^{\,m}.

Resposta

A primeira e a segunda derivadas são, em forma de séries centradas em x=7:
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\sqrt{n+1}\,(x-7)^{\,n},
f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,\sqrt{n+2}\,(x-7)^{\,n}.

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