Calcule a primeira e a segunda derivada de cada uma das séries de potências abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n}}{n!} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n}}{n!}\,x^{n}
e pede a sua primeira e segunda derivadas. O conteúdo aqui é “derivação de série de potências”, pelo qual podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Para derivar termo a termo, usamos o resultado: se
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
então
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},
e outra vez, aplicando essa regra a f'(x), obtemos f''(x).

Passo 3

Aplicando a regra a
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n}}{n!}x^{n},
temos
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}n\;\frac{5^{n}}{n!}\;x^{n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}}{(n-1)!}\;x^{n-1}.

Passo 4

Reindexando a soma em f'(x) definindo k=n-1, então n=k+1 e k vai de 0 a \infty:
f'(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{5^{k+1}}{k!}\;x^{k}.

Passo 5

Agora derivamos termo a termo f'(x):
f''(x) =\sum_{k=1}^{\infty}k\;\frac{5^{k+1}}{k!}\;x^{k-1} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{5^{k+1}}{(k-1)!}\;x^{k-1}.

Passo 6

Reindexando em f''(x) definindo m=k-1, então k=m+1 e m vai de 0 a \infty:
f''(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{5^{m+2}}{m!}\;x^{m}.

Resposta

f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n+1}}{n!}\;x^{n},
f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n+2}}{n!}\;x^{n}.

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