Dado
. Considere
. Prove que
a)
é monótona e limitada.
b)
converge para 1 .
a)
b)
Passo 1
O enunciado diz: seja
fixo e definamos a sequência
Precisamos mostrar duas coisas:
- A sequência
é monótona (ou crescente, ou decrescente) e limitada. -
converge para .
O conteúdo envolvido é teoria de sequências reais, em particular critério de monotonicidade via razão de termos e uso de logaritmo para encontrar o limite.
Passo 2
Mostramos a monotonicidade examinando o quociente
Se
, então o expoente
é negativo, e portanto
ou seja
para todo
: a sequência é decrescente.
Se , então elevar
(que é menor que 1) a um expoente negativo produz um número maior que 1, logo
Se
e a sequência é crescente.
No caso , claramente
para todo
, então é constante.
No caso
Passo 3
Agora as limitações.
- Se
, como é decrescente e todos os termos são positivos, basta notar que para todo ,
.
Logoestá acima de , e como , temos
- Se
, então é crescente e cada . Como , conclui-se
- Se
, trivially e a sequência é limitada por .
Em todos os casos,
é monótona e limitada.
Passo 4
Para achar o limite, aplicamos logaritmo. Seja
Como
é contínua em
, temos
Logo
, isto é
.