Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Se u, v, w é L.I. em V, então u-v, v+w, u+w também é L.I. em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O assunto aqui é independência linear em Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como certas operações com vetores podem afetar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a1u + a2v + a3w = 0 implica que a1 = a2 = a3 = 0, então os vetores u, v, w são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: se [{u, v, w}) é linearmente independente, então também é linearmente independente.
Vamos supor que exista uma combinação linear desses novos vetores igual a zero:
Expandindo essa expressão:
Simplificando os termos:
Como são linearesmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo esse sistema:
  1. Da segunda equação: na terceira equação:
    3. Verificando na primeira equação: , que é válida.
Isso mostra que a única solução é , o que significa que é linearmente independente.

Resposta

V

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