Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Se é L.I. em , então também é L.I. em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O assunto aqui é independência linear em Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como certas operações com vetores podem afetar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: se [{u, v, w}) é linearmente independente, então também é linearmente independente.
Vamos supor que exista uma combinação linear desses novos vetores igual a zero:
Expandindo essa expressão:
Simplificando os termos:
Como são linearesmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação: na terceira equação:
3. Verificando na primeira equação: , que é válida.
Isso mostra que a única solução é , o que significa que é linearmente independente.