No espaço vetorial R^3 consideremos o subespaço: U=(x, y, z) in R^3: 3 x+4 y=0.
Ache um subespaço W do R^3 tal que R^3=U oplus W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um subespaço W de R^3 tal que R^3 = U oplus W , onde U é definido por 3x + 4y = 0 . Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e soma direta. Para resolver, vamos precisar entender a definição de soma direta e como encontrar um complemento para U em R^3 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço U . A equação 3x + 4y = 0 define um plano em R^3 . Isso significa que U é um subespaço de dimensão 2. Em termos simples, qualquer vetor em U tem coordenadas (x, y, z) onde z pode ser qualquer valor, mas x e y estão relacionados pela equação 3x + 4y = 0 .

Passo 3

Agora, para que R^3 seja a soma direta de U e W , precisamos que W seja um subespaço que, junto com U , “preencha” todo o espaço R^3 sem sobreposição além do vetor nulo. Isso significa duas coisas:
  1. A soma U + W deve ser igual a R^3 .
  2. A interseção U cap W deve ser apenas o vetor zero.

Passo 4

Como U tem dimensão 2, W precisa ter dimensão 1 para que a soma das dimensões seja 3, que é a dimensão de R^3 . Um subespaço de dimensão 1 é basicamente uma linha que passa pela origem. Nosso objetivo é encontrar uma linha W que não esteja “presa” no plano U .

Passo 5

Para escolher W , vamos pegar um vetor que não esteja em U . Isso significa que o vetor escolhido não deve satisfazer a equação 3x + 4y = 0 . Por exemplo, o vetor (1, 0, 0) tem 3(1) + 4(0) = 3 neq 0 , então ele não está em U . Portanto, podemos definir W como o conjunto de todos os múltiplos desse vetor:
W = (a, 0, 0) mid a in R

Resposta

Um subespaço W que satisfaz R^3 = U oplus W é:
W = , (a, 0, 0) ;g|; a in R ,

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