No espaço vetorial
consideremos o subespaço:
.
Ache um subespaço
do
tal que
.
Ache um subespaço
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um subespaço
de
tal que
, onde
é definido por
. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e soma direta. Para resolver, vamos precisar entender a definição de soma direta e como encontrar um complemento para
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço
. A equação
define um plano em
. Isso significa que
é um subespaço de dimensão 2. Em termos simples, qualquer vetor em
tem coordenadas
onde
pode ser qualquer valor, mas
e
estão relacionados pela equação
.
Passo 3
Agora, para que
seja a soma direta de
e
, precisamos que
seja um subespaço que, junto com
, “preencha” todo o espaço
sem sobreposição além do vetor nulo. Isso significa duas coisas:
- A soma
deve ser igual a . - A interseção
deve ser apenas o vetor zero.
Passo 4
Como
tem dimensão 2,
precisa ter dimensão 1 para que a soma das dimensões seja 3, que é a dimensão de
. Um subespaço de dimensão 1 é basicamente uma linha que passa pela origem. Nosso objetivo é encontrar uma linha
que não esteja “presa” no plano
.
Passo 5
Para escolher
, vamos pegar um vetor que não esteja em
. Isso significa que o vetor escolhido não deve satisfazer a equação
. Por exemplo, o vetor
tem
, então ele não está em
. Portanto, podemos definir
como o conjunto de todos os múltiplos desse vetor:
Resposta
Um subespaço
que satisfaz
é: