No espaço vetorial
consideremos o subespaço:
.
Exiba uma base de
e calcule sua dimensão.
Exiba uma base de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando no espaço vetorial
e precisa encontrar uma base para o subespaço
definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Além disso, vamos calcular a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como solução de sistemas e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Isso impõe uma relação entre
e
. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar
:
Isso significa que
depende de
, enquanto
pode ser qualquer valor real, já que não está restrito pela equação.
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores de
usando parâmetros livres. Como
e
são livres, podemos atribuir:
Substituindo
na equação para
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Os vetores que multiplicam os parâmetros
e
são:
Esses vetores formam uma base para
se forem linearmente independentes. Vamos verificar:
Assumamos que
:
Isso nos dá o sistema:
Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e
. A dimensão de
é 2.