No espaço vetorial R^3 consideremos o subespaço: U=(x, y, z) in R^3: 3 x+4 y=0.
Exiba uma base de U e calcule sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando no espaço vetorial R^3 e precisa encontrar uma base para o subespaço U definido por todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação 3x + 4y = 0. Além disso, vamos calcular a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como solução de sistemas e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação 3x + 4y = 0. Isso impõe uma relação entre x e y. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar x:
3x + 4y = 0 implies x = -43y
Isso significa que x depende de y, enquanto z pode ser qualquer valor real, já que não está restrito pela equação.

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores de U usando parâmetros livres. Como y e z são livres, podemos atribuir:
y = t e z = s
Substituindo y = t na equação para x:
x = -43t
Então, qualquer vetor em U pode ser escrito como:
( -43t, t, s ) = t ( -43, 1, 0 ) + s ( 0, 0, 1 )

Passo 4

Os vetores que multiplicam os parâmetros t e s são:
v1 = ( -43, 1, 0 ) e v2 = ( 0, 0, 1 )
Esses vetores formam uma base para U se forem linearmente independentes. Vamos verificar:
Assumamos que av1 + bv2 = 0:
a ( -43, 1, 0 ) + b ( 0, 0, 1 ) = ( 0, 0, 0 )
Isso nos dá o sistema:
-43a = 0 a = 0 b = 0
Como a única solução é a = b = 0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para U é formada pelos vetores ( -43, 1, 0 ) e ( 0, 0, 1 ). A dimensão de U é 2.

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