Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
O conjunto W=A in M2(R): A^2=A é um subespaço de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o conjunto W = A in M2(R) : A^2 = A é um subespaço de M2(R) . Isso envolve entender sobre subespaços vetoriais na álgebra linear e verificar algumas propriedades específicas para confirmar se W realmente é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser um subespaço de um espaço vetorial maior, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em M2(R) é a matriz nula 0 , que satisfaz 0^2 = 0 . Então, 0 in W . Até aqui, tudo certo!

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes A e B em W . Ou seja, A^2 = A e B^2 = B . Agora, queremos ver se (A + B)^2 = A + B .
Calculando:
(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B
Para que (A + B)^2 = A + B , precisaríamos que AB + BA = 0 . Isso nem sempre acontece para matrizes em M2(R) . Portanto, W não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já vimos que W não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar. Tomemos um escalar c e uma matriz A in W . Precisamos que (cA)^2 = cA .
Calculando:
(cA)^2 = c^2A^2 = c^2A
Para que c^2A = cA , precisaríamos que c^2 = c , o que só é verdadeiro se c = 0 ou c = 1 . Como isso não vale para todos os escalares, W também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Falso. O conjunto W não é um subespaço de M2(R) .

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