Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
O conjunto
é um subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve entender sobre subespaços vetoriais na álgebra linear e verificar algumas propriedades específicas para confirmar se
realmente é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser um subespaço de um espaço vetorial maior, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz nula
, que satisfaz
. Então,
. Até aqui, tudo certo!
O vetor zero em
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes e
em
. Ou seja,
e
. Agora, queremos ver se
.
Vamos pegar duas matrizes
Calculando:
Para que
, precisaríamos que
. Isso nem sempre acontece para matrizes em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já vimos que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar. Tomemos um escalar
e uma matriz
. Precisamos que
.
Mesmo que já vimos que
Calculando:
Para que
, precisaríamos que
, o que só é verdadeiro se
ou
. Como isso não vale para todos os escalares,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Falso. O conjunto
não é um subespaço de
.