Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Se
é um subespaço de dimensão 5 de
então qualquer base de
pode ser completada para uma base de
adicionando-se um vetor conveniente.
Se
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma questão que pede para dizer se uma afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre subespaços vetoriais e bases em geometria linear. Vamos precisar entender o que são subespaços, dimensão, e como completar uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço de
. Um subespaço de dimensão 5 significa que ele tem 5 vetores que formam uma base, ou seja, esses vetores são lineares e qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses 5 vetores.
Passo 3
Agora, uma base de
precisa ter exatamente 6 vetores que sejam linearmente independentes. O enunciado diz que podemos pegar a base de
(que tem 5 vetores) e adicionar um vetor “conveniente” para completar uma base de
.
Passo 4
A teoria nos diz que em um espaço vetorial finito, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser estendido a uma base do espaço. Como
tem dimensão 5, precisamos adicionar apenas mais um vetor que não está em
para atingir a dimensão 6.
Passo 5
Portanto, está correto afirmar que qualquer base de
pode ser completada para uma base de
adicionando-se um vetor apropriado.
Resposta
V