Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Se
e
então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão de álgebra linear. A pergunta nos diz que temos dois subespaços
e
do espaço tridimensional
. Sabemos que a soma desses subespaços,
, é igual a todo o espaço
, e que a dimensão de
é 2. A questão quer saber se isso implica que a dimensão de
é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a fórmula da dimensão para a soma de dois subespaços. Essa fórmula é:
Aqui,
representa a interseção dos subespaços
e
, ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.
Passo 3
Sabemos que
, então:
Também sabemos que
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para encontrar
:
Isso mostra que a dimensão de
depende da dimensão da interseção
.
Passo 5
Como a dimensão da interseção
não pode ser negativa e
tem dimensão 2, a dimensão de
pode ser no mínimo 0 (se a interseção for apenas o vetor zero) e no máximo 2 (se
estiver completamente contido em
).
Passo 6
Portanto, a dimensão de
pode ser:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Passo 7
A questão afirma que
, mas como vimos,
pode ser 1, 2 ou até 3, dependendo da interseção. Isso significa que a afirmativa não é necessariamente verdadeira em todos os casos.
Resposta
[F]