Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Se U+W=R^3 e dim(U)=2 então dim(W)=1.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão de álgebra linear. A pergunta nos diz que temos dois subespaços U e W do espaço tridimensional R^3 . Sabemos que a soma desses subespaços, U + W , é igual a todo o espaço R^3 , e que a dimensão de U é 2. A questão quer saber se isso implica que a dimensão de W é 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a fórmula da dimensão para a soma de dois subespaços. Essa fórmula é:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Aqui, U cap W representa a interseção dos subespaços U e W , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.

Passo 3

Sabemos que U + W = R^3 , então:
dim(U + W) = 3
Também sabemos que dim(U) = 2 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
3 = 2 + dim(W) - dim(U cap W)

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para encontrar dim(W) :
dim(W) = 3 - 2 + dim(U cap W) = 1 + dim(U cap W)
Isso mostra que a dimensão de W depende da dimensão da interseção U cap W .

Passo 5

Como a dimensão da interseção U cap W não pode ser negativa e U tem dimensão 2, a dimensão de U cap W pode ser no mínimo 0 (se a interseção for apenas o vetor zero) e no máximo 2 (se U estiver completamente contido em W ).

Passo 6

Portanto, a dimensão de W pode ser:
  • Se dim(U cap W) = 0 , então dim(W) = 1
  • Se dim(U cap W) = 1 , então dim(W) = 2
  • Se dim(U cap W) = 2 , então dim(W) = 3

Passo 7

A questão afirma que dim(W) = 1 , mas como vimos, dim(W) pode ser 1, 2 ou até 3, dependendo da interseção. Isso significa que a afirmativa não é necessariamente verdadeira em todos os casos.

Resposta

[F]

Exercícios relacionados