Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Existe uma base de P4(R) que não contém nenhum polinômio de grau 2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço P4(R) , que consiste em todos os polinômios de grau até 4 com coeficientes reais. Queremos saber se existe uma base para esse espaço que não contenha nenhum polinômio de grau 2.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma base de P4(R) precisa ter exatamente 5 polinômios (já que o espaço é 5-dimensional) e que esses polinômios devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço.

Passo 3

A base padrão para P4(R) é 1, x, x^2, x^3, x^4. Note que nessa base, um dos polinômios é de grau 2.

Passo 4

A pergunta é se podemos formar uma base diferente, sem usar nenhum polinômio de grau 2. Isso significa que teríamos que substituir x^2 por algum outro polinômio que não seja exatamente de grau 2.

Passo 5

No entanto, para gerar todo o espaço P4(R) , precisamos ser capazes de obter qualquer polinômio de grau até 4 a partir da base. Se removemos os polinômios de grau 2, não teremos como representar exatamente o termo x^2 usando combinações lineares dos outros polinômios de graus diferentes.

Passo 6

Assim, não é possível formar uma base para P4(R) sem incluir pelo menos um polinômio de grau 2. A presença de um polinômio de grau 2 é essencial para garantir que todos os termos até o grau 4 possam ser gerados.

Resposta

F

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