Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso. Não é necessário justificar. Uma questão errada anula uma questão certa. É permitido deixar itens em branco.
Existe uma base de
que não contém nenhum polinômio de grau 2.
Existe uma base de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço
, que consiste em todos os polinômios de grau até 4 com coeficientes reais. Queremos saber se existe uma base para esse espaço que não contenha nenhum polinômio de grau 2.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma base de
precisa ter exatamente 5 polinômios (já que o espaço é 5-dimensional) e que esses polinômios devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço.
Passo 3
A base padrão para
é
. Note que nessa base, um dos polinômios é de grau 2.
Passo 4
A pergunta é se podemos formar uma base diferente, sem usar nenhum polinômio de grau 2. Isso significa que teríamos que substituir
por algum outro polinômio que não seja exatamente de grau 2.
Passo 5
No entanto, para gerar todo o espaço
, precisamos ser capazes de obter qualquer polinômio de grau até 4 a partir da base. Se removemos os polinômios de grau 2, não teremos como representar exatamente o termo
usando combinações lineares dos outros polinômios de graus diferentes.
Passo 6
Assim, não é possível formar uma base para
sem incluir pelo menos um polinômio de grau 2. A presença de um polinômio de grau 2 é essencial para garantir que todos os termos até o grau 4 possam ser gerados.
Resposta
F