Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) nas afirmações a seguir:
( ) Em um grupo G o elemento neutro é único.
( ) Cada elemento g de um grupo G possui um único inverso g^-1.
( ) O conjunto vazio pode ser considerado um grupo.
( ) Em um grupo (G, *) uma equação na forma a * x * b=c, admite mais de mma solução.
( ) Em todo grupo G a equação x^2=e, onde e denota o elemento neutro, possui exatamente duas soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre grupos e pede para classificá-las como Verdadeiras ou Falsas. Vamos usar os axiomas de grupo—fechamento, associatividade, elemento neutro e e inversos—além da propriedade de cancelamento, para analisar cada afirmação.

Passo 2

Afirmação: “Em um grupo G o elemento neutro é único.”
Se e e e' fossem ambos neutros, teríamos
e * e' = e' (porque (e) é neutro) é
e
e * e' = e (porque (e') é neutro) é
Logo e = e'. Portanto, a identidade em um grupo é única.
Esta afirmação é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação: “Cada elemento g de um grupo G possui um único inverso g^-1.”
Se y e z fossem inversos de g, teríamos
g * y = e e z * g = e
Então
y = y * e = y*(g*z) = (y*g)*z = e * z = z
Logo o inverso é único.
Esta afirmação é Verdadeira.

Passo 4

Afirmação: “O conjunto vazio pode ser considerado um grupo.”
Um grupo requer a existência de um elemento neutro ein G. No conjunto vazio não há elementos, logo não há identidade.
Esta afirmação é Falsa.

Passo 5

Afirmação: “Em um grupo (G,*) uma equação na forma a * x * b = c admite mais de uma solução.”
Para resolver usamos cancelamento: multiplicamos à esquerda por a^-1 e à direita por b^-1, obtendo
x = a^-1 * c * b^-1
Há exatamente uma solução.
Esta afirmação é Falsa.

Passo 6

Afirmação: “Em todo grupo G a equação x^2=e possui exatamente duas soluções.”
No grupo trivial e só existe x=e satisfazendo x^2=e. Em outros grupos pode haver mais de duas soluções (por exemplo, todo elemento de ordem 2).
Esta afirmação é Falsa.

Resposta

(V)
(V)
(F)
(F)
(F)

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