Assinale verdadeiro
ou falso
nas afirmações a seguir:
( ) Em um grupo
o elemento neutro é único.
( ) Cada elemento
de um grupo
possui um único inverso
.
( ) O conjunto vazio pode ser considerado um grupo.
( ) Em um grupo
uma equação na forma
, admite mais de mma solução.
( ) Em todo grupo
a equação
, onde
denota o elemento neutro, possui exatamente duas soluções.
( ) Em um grupo
( ) Cada elemento
( ) O conjunto vazio pode ser considerado um grupo.
( ) Em um grupo
( ) Em todo grupo
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre grupos e pede para classificá-las como Verdadeiras ou Falsas. Vamos usar os axiomas de grupo—fechamento, associatividade, elemento neutro
e inversos—além da propriedade de cancelamento, para analisar cada afirmação.
Passo 2
Afirmação: “Em um grupo
o elemento neutro é único.”
Se e
fossem ambos neutros, teríamos
Se
e
Logo
. Portanto, a identidade em um grupo é única.
Esta afirmação é Verdadeira.
Esta afirmação é Verdadeira.
Passo 3
Afirmação: “Cada elemento
de um grupo
possui um único inverso
.”
Se e
fossem inversos de
, teríamos
Se
Então
Logo o inverso é único.
Esta afirmação é Verdadeira.
Esta afirmação é Verdadeira.
Passo 4
Afirmação: “O conjunto vazio pode ser considerado um grupo.”
Um grupo requer a existência de um elemento neutro . No conjunto vazio não há elementos, logo não há identidade.
Esta afirmação é Falsa.
Um grupo requer a existência de um elemento neutro
Esta afirmação é Falsa.
Passo 5
Afirmação: “Em um grupo
uma equação na forma
admite mais de uma solução.”
Para resolver usamos cancelamento: multiplicamos à esquerda por e à direita por
, obtendo
Para resolver usamos cancelamento: multiplicamos à esquerda por
Há exatamente uma solução.
Esta afirmação é Falsa.
Esta afirmação é Falsa.
Passo 6
Afirmação: “Em todo grupo
a equação
possui exatamente duas soluções.”
No grupo trivial só existe
satisfazendo
. Em outros grupos pode haver mais de duas soluções (por exemplo, todo elemento de ordem 2).
Esta afirmação é Falsa.
No grupo trivial
Esta afirmação é Falsa.
Resposta
(V)
(V)
(F)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(F)