Dizemos que um elemento g de um grupo G é idempotente se vale g^2=g. Mostre que um grupo G tem um único elemento idempotente e determine tal elemento. Utilize este resultado para provar que todo grupo de 3 elementos é abeliano.

Passo 1

O enunciado define em um grupo G o conceito de elemento idempotente: g é idempotente se
g^2 = g
Precisamos mostrar que há exatamente um tal elemento em G e identificar qual é. Em seguida, usando esse resultado, provamos que todo grupo de ordem 3 é abeliano. Vamos usar propriedades básicas de grupos (inversos, cancelamento e o teorema de Lagrange sobre ordens de elementos).

Passo 2

Seja gin G idempotente, isto é,
g^2 = g
Multiplicando à direita por g^-1 (que existe pois G é grupo), obtemos
g^2 g^-1 = g g^-1 Longrightarrow g = e
Logo qualquer idempotente deve ser a identidade e. Concluímos que existe no máximo um elemento idempotente e ele é e. Como e^2=e, há exatamente um elemento idempotente:
boxedo único idempotente de G é e úé

Passo 3

Agora seja G um grupo com lvert Grvert=3. Denotemos os elementos como
G = ,e,a,b,
onde e é a identidade e aneq e. Note que a^2neq a (caso contrário a seria idempotente e valeria a=e). Portanto
a^2ine,b
Pela ordem de G e pelo teorema de Lagrange, a ordem de a divide 3, logo é 1 ou 3. Como aneq e, a ordem de a é 3, o que implica
a^3 = e Longrightarrow a^2neq e
Assim a^2 não pode ser e e deve ser b. Logo
G = ,e,;a,;a^2

Passo 4

Como todo elemento de G é uma potência de a, para quaisquer expoentes i,jin0,1,2 temos
a^i,a^j = a^,i+j = a^,j+i = a^j,a^i
Isto mostra que a multiplicação em G é comutativa, ou seja, G é abeliano.

Resposta

O único elemento idempotente de G é a identidade e.
Qualquer grupo de ordem 3 é cíclico, gerado por um elemento aneq e, e portanto é abeliano.

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