Dizemos que um elemento
de um grupo
é idempotente se vale
. Mostre que um grupo
tem um único elemento idempotente e determine tal elemento. Utilize este resultado para provar que todo grupo de 3 elementos é abeliano.
Passo 1
O enunciado define em um grupo
o conceito de elemento idempotente:
é idempotente se
Precisamos mostrar que há exatamente um tal elemento em
e identificar qual é. Em seguida, usando esse resultado, provamos que todo grupo de ordem 3 é abeliano. Vamos usar propriedades básicas de grupos (inversos, cancelamento e o teorema de Lagrange sobre ordens de elementos).
Passo 2
Seja
idempotente, isto é,
Multiplicando à direita por
(que existe pois
é grupo), obtemos
Logo qualquer idempotente deve ser a identidade
. Concluímos que existe no máximo um elemento idempotente e ele é
. Como
, há exatamente um elemento idempotente:
Passo 3
Agora seja
um grupo com
. Denotemos os elementos como
onde
é a identidade e
. Note que
(caso contrário
seria idempotente e valeria
). Portanto
Pela ordem de
e pelo teorema de Lagrange, a ordem de
divide 3, logo é 1 ou 3. Como
, a ordem de
é 3, o que implica
Assim
não pode ser
e deve ser
. Logo
Passo 4
Como todo elemento de
é uma potência de
, para quaisquer expoentes
temos
Isto mostra que a multiplicação em
é comutativa, ou seja,
é abeliano.
Resposta
O único elemento idempotente de
é a identidade
.
Qualquer grupo de ordem 3 é cíclico, gerado por um elemento , e portanto é abeliano.
Qualquer grupo de ordem 3 é cíclico, gerado por um elemento