Sejam
a operação definida por
Mostre que
é um grupo. Este grupo é abeliano?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto dos números racionais positivos, que a gente representa por
. A operação que a gente vai usar nesse conjunto é o
, que é definida assim:
O exercício pede pra gente mostrar que esse conjunto com essa operação forma um grupo. Além disso, quer saber se esse grupo é abeliano, ou seja, se a ordem dos elementos na operação não altera o resultado. Para resolver isso, a gente precisa lembrar o que é um grupo e as propriedades que ele precisa ter.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Se a gente opera dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
- Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja,
para todos os elementos . - Elemento identidade: Deve existir um elemento no grupo que, quando operado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
- Elemento inverso: Para cada elemento no grupo, deve existir outro elemento que, quando operados, dá o elemento identidade.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
1. Fechamento
A gente precisa mostrar que se
e
são números racionais positivos, então
também é um número racional positivo.
Como
e
são positivos, o produto
é positivo. Dividindo um número positivo por 2, o resultado continua positivo. E como o produto e a divisão de números racionais são racionais,
está em
. Então, a operação é fechada.
Passo 4
2. Associatividade
Vamos checar se
para quaisquer
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a operação é associativa.
Passo 5
3. Elemento identidade
Precisamos encontrar um elemento
tal que
para todo
.
Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por
(como
, isso é válido):
Portanto, o elemento identidade é 2.
Vamos verificar:
Conferido! O elemento identidade é 2.
Passo 6
4. Elemento inverso
Para cada
, precisamos encontrar um elemento
tal que
, onde
.
Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por
:
Então, o inverso de
é
.
Vamos verificar:
Tudo certo! Cada elemento tem seu inverso.
Passo 7
Verificando se o grupo é abeliano
Um grupo é abeliano se a operação
é comutativa, ou seja,
para todos os
.
Vamos calcular:
Como a multiplicação é comutativa (
), temos:
Portanto, a operação
é comutativa e o grupo é abeliano.
Resposta
Sim,
é um grupo, e esse grupo é abeliano.