Sejam Q^+=x in Q mid x>0 e * a operação definida por
a * b=a b2
Mostre que (Q^+, *) é um grupo. Este grupo é abeliano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto dos números racionais positivos, que a gente representa por Q^+. A operação que a gente vai usar nesse conjunto é o *, que é definida assim:
a * b = a times b2
O exercício pede pra gente mostrar que esse conjunto com essa operação forma um grupo. Além disso, quer saber se esse grupo é abeliano, ou seja, se a ordem dos elementos na operação não altera o resultado. Para resolver isso, a gente precisa lembrar o que é um grupo e as propriedades que ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se a gente opera dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, (a * b) * c = a * (b * c) para todos os elementos a, b, c.
  3. Elemento identidade: Deve existir um elemento no grupo que, quando operado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento no grupo, deve existir outro elemento que, quando operados, dá o elemento identidade.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para (Q^+, *).

Passo 3

1. Fechamento
A gente precisa mostrar que se a e b são números racionais positivos, então a * b também é um número racional positivo.
Como a e b são positivos, o produto a times b é positivo. Dividindo um número positivo por 2, o resultado continua positivo. E como o produto e a divisão de números racionais são racionais, a * b está em Q^+. Então, a operação é fechada.

Passo 4

2. Associatividade
Vamos checar se (a * b) * c = a * (b * c) para quaisquer a, b, c in Q^+.
Calculando o lado esquerdo:
(a * b) * c = (a times b2) * c = (a times b2) times c2 = a times b times c4
Calculando o lado direito:
a * (b * c) = a * (b times c2) = a times (b times c2)2 = a times b times c4
Como os dois lados são iguais, a operação é associativa.

Passo 5

3. Elemento identidade
Precisamos encontrar um elemento e in Q^+ tal que a * e = e * a = a para todo a in Q^+.
Vamos resolver a equação:
a * e = a times e2 = a
Multiplicando ambos os lados por 2:
a times e = 2a
Dividindo por a (como a > 0, isso é válido):
e = 2
Portanto, o elemento identidade é 2.
Vamos verificar:
a * 2 = a times 22 = a
2 * a = 2 times a2 = a
Conferido! O elemento identidade é 2.

Passo 6

4. Elemento inverso
Para cada a in Q^+, precisamos encontrar um elemento b in Q^+ tal que a * b = b * a = e, onde e = 2.
Vamos resolver a equação:
a * b = a times b2 = 2
Multiplicando ambos os lados por 2:
a times b = 4
Dividindo por a:
b = 4a
Então, o inverso de a é 4a.
Vamos verificar:
a * 4a = a times 4a2 = 42 = 2
4a * a = 4a times a2 = 42 = 2
Tudo certo! Cada elemento tem seu inverso.

Passo 7

Verificando se o grupo é abeliano
Um grupo é abeliano se a operação * é comutativa, ou seja, a * b = b * a para todos os a, b in Q^+.
Vamos calcular:
a * b = a times b2
b * a = b times a2
Como a multiplicação é comutativa ( a times b = b times a), temos:
a * b = b * a
Portanto, a operação * é comutativa e o grupo é abeliano.

Resposta

Sim, (Q^+, *) é um grupo, e esse grupo é abeliano.

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