Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) Se A é uma matriz simétrica e definida positiva, então A pode ser decomposta unicamente no produto L L^{\top}, onde L é uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal positivos. \square
b) Se uma matriz A satisfaz as condições do método de Cholesky, a aplicação deste método requer mais cálculos que a decomposição L U. \square
c) O método de Cholesky aplicado a uma matriz simétrica e definida positiva não necessita do uso de pivotação parcial para manter a estabilidade numérica.
\square
d) O fato de uma matriz A ser definida positiva garante que na decomposição existirão somente raízes quadradas de números positivos. \square
e) É necessário a utilização de aritmética complexa quando o método de decomposição de Cholesky é aplicado em matrizes simétricas que não sejam positivas definidas. \square
f) Seja \mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right]. O método de decomposição de Cholesky pode ser aplicado à matriz A pois ela é definida positiva. \square

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos como verdadeiro ou falso cada afirmação sobre o método de Cholesky, cujo conteúdo é a decomposição de uma matriz simétrica definida positiva A no produto LL^{\top}, suas propriedades de unicidade, custo computacional, necessidade de pivotação, sinal dos elementos da diagonal e aplicabilidade em matrizes não-positivas definidas.

Passo 2

(a) Se A é simétrica e definida positiva, existe e é única a decomposição
A = L\,L^{\top},
onde L é triangular inferior com diagonal estritamente positiva. Isto é o teorema clássico de Cholesky.
Resposta: Verdadeiro.

Passo 3

(b) Comparando custos, a decomposição de Cholesky leva cerca de \tfrac{n^3}{3} operações de ponto flutuante, enquanto uma decomposição LU sem aproveitamento de simetria leva cerca de \tfrac{n^3}{2}. Logo, Cholesky requer menos cálculos que LU.
Resposta: Falso.

Passo 4

(c) Como A é definida positiva, todos os pivôs (os elementos da diagonal de L) são positivos e nunca nulos, garantindo estabilidade numérica sem necessidade de pivotação parcial.
Resposta: Verdadeiro.

Passo 5

(d) A definição de positiva definida implica que, ao calcular os pivôs, sempre teremos números positivos sob a raiz quadrada, pois cada pivô é uma diferença de quadrados que permanece positiva.
Resposta: Verdadeiro.

Passo 6

(e) Se A não for definida positiva, em algum passo o algorítmo encontra um pivô negativo e não consegue extrair sua raiz real. Mas não se “adota” aritmética complexa: simplesmente o método não é aplicável.
Resposta: Falso.

Passo 7

(f) Para
A = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & 4\\\\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix}
os menores principais são
\det([3])=3>0,
\det\bigl(\begin{smallmatrix}3&1\\\ 1&3\end{smallmatrix}\bigr)=8>0,
mas
\det(A)=-40<0.
Como o determinante total é negativo, A não é definida positiva e não admite Cholesky real.
Resposta: Falso.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Falso

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