Seja A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 14 \\\\ 2 & 17 & -5 \\\\ 14 & -5 & 83\end{array}\right], e seja o produto L L^{\top}=A. Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) A satisfaz as condições da decomposição de Cholesky, pois é simétrica e definida positiva.
b) L=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 4 & 0 \\\\ -7 & -3 & 5\end{array}\right] \square
c) \operatorname{det}(A)=\left(l_{11} l_{22} l_{33}\right)=40 \square

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 14\\\\ 2 & 17 & -5\\\\ 14 & -5 & 83 \end{pmatrix}
e pede para verificar três afirmações sobre a decomposição de Cholesky A = LL^{\top}. O conteúdo envolvido é: (i) teste de matriz definida positiva, (ii) construção/verificação de L, e (iii) relação entre \det(A) e os elementos diagonais de L.

Passo 2

Para ter Cholesky, A precisa ser simétrica e definida positiva. Simetria é óbvia pois A_{ij}=A_{ji}. Para ser definida positiva basta checar os menores principais:
\underbrace{\det\bigl([4]\bigr)}_{=4}>0,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 2 & 17\end{pmatrix} =4\cdot17-2\cdot2=68-4=64>0,
\det(A)\;=\;1600>0
(veja o Passo 4). Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva. Logo a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

A afirmação (b) sugere
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 1 & 4 & 0\\\\ -7 & -3 & 5 \end{pmatrix}.
Para testar, basta calcular \,LL^{\top}. O elemento (1,3) de LL^{\top} é
l_{11}l_{31}+l_{12}l_{32}+l_{13}l_{33} =2\cdot(-7)+0\cdot(-3)+0\cdot5=-14,
mas em A temos A_{13}=14. Como -14\neq14, o produto LL^{\top} não recupera A. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Para responder (c), computamos \det(A) explicitamente:
\det(A) =4\det\begin{pmatrix}17 & -5\\\ -5 &83\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & -5\\\ 14 &83\end{pmatrix} +14\det\begin{pmatrix}2 &17\\\ 14 &-5\end{pmatrix} =1600.
Por outro lado, se A=LL^{\top} então
\det(A)=(\det L)^2 =\bigl(l_{11}l_{22}l_{33}\bigr)^2,
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l_{11}l_{22}l_{33}=\sqrt{\det(A)}=\sqrt{1600}=40.
A afirmação (c) dizia que \det(A)=l_{11}l_{22}l_{33}=40, o que é incorreto pois \det(A)=1600. Assim (c) é falsa.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Falso
c) Falso

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