Resolva o sistema abaixo usando o método de eliminação de Gauss.
\begin{array}{rr} x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =8 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3} & =1 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3} & =10 \end{array}
a. \mathrm{x}=\left[\begin{array}{r}-30 \\\\ 4 \\\\ -13\end{array}\right]
b. x=\left[\begin{array}{r}30 \\\\ 4 \\\\ -13\end{array}\right]
c. \mathrm{x}=\left[\begin{array}{r}30 \\\\ -4 \\\\ -13\end{array}\right]
d. x=\left[\begin{array}{r}30 \\\\ 4 \\\\ 13\end{array}\right]
e. x=\left[\begin{array}{r}-30 \\\\ -4 \\\\ -13\end{array}\right]

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=8,\\\\ -\,x_{1}-2x_{2}-3x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}-7x_{2}+4x_{3}=10, \end{cases}
e vamos usar o método de eliminação de Gauss, montando a matriz aumentada e zerando progressivamente os coeficientes abaixo da diagonal principal.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e eliminando x_{1} nas linhas 2 e 3:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ -1 & -2 & -3 & 1\\\\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1},\;R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & -1 & -1 & 9\\\\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right).

Passo 3

Agora eliminamos x_{2} na linha 3 usando R_{3}\leftarrow R_{3}-10\,R_{2}:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & -1 & -1 & 9\\\\ 0 & 0 & 8 & -104 \end{array}\right).

Passo 4

Da terceira linha temos
8x_{3}=-104\quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-13.
Substituindo em 0\cdot x_{1}-x_{2}-x_{3}=9 (segunda linha):
-\,x_{2}-(-13)=9\quad\Longrightarrow\quad -x_{2}+13=9\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=4.
Finalmente, na primeira linha
x_{1}+x_{2}+2x_{3}=8\quad\Longrightarrow\quad x_{1}+4+2(-13)=8\quad\Longrightarrow\quad x_{1}-22=8\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=30.

Resposta

A solução é
x=\begin{pmatrix}30\\\ 4\\\ -13\end{pmatrix},
portanto a alternativa correta é a (b).

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