Assinale verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) nas afirmações a seguir:
( ) Todo elemento do grupo quociente Q / Z possui ordem finita.
( ) Para cada n in N, existe um elemento do grupo quociente Q / Z cuja ordem é exatamente n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente dizer se duas afirmações sobre o grupo quociente Q / Z são verdadeiras ou falsas. Então, vamos precisar entender um pouco sobre grupos quocientes e ordem dos elementos dentro deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o grupo quociente Q / Z. Aqui, Q representa os números racionais e Z os inteiros. O grupo quociente Q / Z consiste nas classes de equivalência onde dois racionais são considerados iguais se differirem por um inteiro. Basicamente, estamos “colando” todos os inteiros em um único ponto no grupo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento a é o menor número positivo n tal que n cdot a = 0 no grupo. Se não existir tal n, dizemos que o elemento tem ordem infinita.

Passo 4

Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) Todo elemento do grupo quociente Q / Z possui ordem finita.
Como estamos trabalhando com Q / Z, qualquer classe de equivalência [q] onde q é um número racional pode ser representada como q = ab com a, b in Z e b neq 0. Multiplicando esse elemento por b temos:
b cdot ab = a in Z
E como estamos no grupo quociente Q / Z, isso resulta em zero:
b cdot ab = [a] = [0]
Então, cada elemento tem ordem no máximo b, que é finita.

Passo 5

Agora, a segunda afirmação:
( ) Para cada n in N, existe um elemento do grupo quociente Q / Z cuja ordem é exatamente n.
Para qualquer número natural n, podemos considerar o elemento 1n em Q. No grupo quociente Q / Z, temos:
n cdot 1n = 1 equiv 0 mod Z
Isso mostra que o elemento 1n tem ordem exatamente n, já que nenhum número menor que n multiplicado por 1n dá zero no grupo quociente.

Resposta

V para a primeira afirmação e V para a segunda afirmação.

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