Assinale verdadeiro (
) ou falso (
) nas afirmações a seguir:
( ) Todo elemento do grupo quociente
possui ordem finita.
( ) Para cada
, existe um elemento do grupo quociente
cuja ordem é exatamente
.
( ) Todo elemento do grupo quociente
( ) Para cada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente dizer se duas afirmações sobre o grupo quociente
são verdadeiras ou falsas. Então, vamos precisar entender um pouco sobre grupos quocientes e ordem dos elementos dentro deles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o grupo quociente
. Aqui,
representa os números racionais e
os inteiros. O grupo quociente
consiste nas classes de equivalência onde dois racionais são considerados iguais se differirem por um inteiro. Basicamente, estamos “colando” todos os inteiros em um único ponto no grupo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento
é o menor número positivo
tal que
no grupo. Se não existir tal
, dizemos que o elemento tem ordem infinita.
Passo 4
Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) Todo elemento do grupo quociente
possui ordem finita.
Como estamos trabalhando com
, qualquer classe de equivalência
onde
é um número racional pode ser representada como
com
e
. Multiplicando esse elemento por
temos:
E como estamos no grupo quociente
, isso resulta em zero:
Então, cada elemento tem ordem no máximo
, que é finita.
Passo 5
Agora, a segunda afirmação:
( ) Para cada
, existe um elemento do grupo quociente
cuja ordem é exatamente
.
Para qualquer número natural
, podemos considerar o elemento
em
. No grupo quociente
, temos:
Isso mostra que o elemento
tem ordem exatamente
, já que nenhum número menor que
multiplicado por
dá zero no grupo quociente.
Resposta
V para a primeira afirmação e V para a segunda afirmação.