Seja G um grupo finito. Mostre que para todo g in G, devemos ter o(g) <= |G|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo finito G . A gente precisa mostrar que, para qualquer elemento g dentro desse grupo, a ordem de g , que a gente chama de o(g) , é menor ou igual ao tamanho do grupo |G| . Isso está ligado à teoria de grupos, especificamente ao conceito de ordem de um elemento e ao teorema de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a ordem de um elemento g em um grupo. A ordem o(g) é o menor número inteiro positivo tal que:
g^o(g) = e
Onde e é o elemento neutro do grupo G .

Passo 3

Agora, como G é um grupo finito com |G| elementos, a gente sabe que qualquer elemento g precisa se “repetir” dentro desse número finito de passos. Ou seja, após um certo número de multiplicações, g volta a ser o elemento neutro e .

Passo 4

Pelo teorema de Lagrange, que é fundamental na teoria de grupos, a ordem de todo elemento g de G divide o tamanho do grupo |G| . Isso significa que:
o(g) , | , |G|
Isso implica que o(g) não pode ser maior que |G| , já que ele é um divisor de |G| .

Passo 5

Portanto, combinando essas ideias, concluímos que para qualquer elemento g em G , a ordem o(g) é sempre menor ou igual ao número de elementos do grupo |G| .

Resposta

Para todo elemento g em um grupo finito G , a ordem o(g) satisfaz o(g) <= |G| .

Exercícios relacionados