Seja
um grupo finito. Mostre que para todo
, devemos ter
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo finito
. A gente precisa mostrar que, para qualquer elemento
dentro desse grupo, a ordem de
, que a gente chama de
, é menor ou igual ao tamanho do grupo
. Isso está ligado à teoria de grupos, especificamente ao conceito de ordem de um elemento e ao teorema de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a ordem de um elemento
em um grupo. A ordem
é o menor número inteiro positivo tal que:
Onde
é o elemento neutro do grupo
.
Passo 3
Agora, como
é um grupo finito com
elementos, a gente sabe que qualquer elemento
precisa se “repetir” dentro desse número finito de passos. Ou seja, após um certo número de multiplicações,
volta a ser o elemento neutro
.
Passo 4
Pelo teorema de Lagrange, que é fundamental na teoria de grupos, a ordem de todo elemento
de
divide o tamanho do grupo
. Isso significa que:
Isso implica que
não pode ser maior que
, já que ele é um divisor de
.
Passo 5
Portanto, combinando essas ideias, concluímos que para qualquer elemento
em
, a ordem
é sempre menor ou igual ao número de elementos do grupo
.
Resposta
Para todo elemento
em um grupo finito
, a ordem
satisfaz
.