Assinale verdadeiro
ou falso
nas afirmações a seguir:
( ) Todo grupo cíclico possui um único gerador.
( ) Em um grupo cíclico todo elemento é gerador.
( ) Todo grupo cíclico é abeliano.
( ) Todo grupo abeliano é cíclico.
( ) Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
( ) Todo grupo cíclico possui um único gerador.
( ) Em um grupo cíclico todo elemento é gerador.
( ) Todo grupo cíclico é abeliano.
( ) Todo grupo abeliano é cíclico.
( ) Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre grupos cíclicos como verdadeiro ou falso. Vamos usar definições de grupo cíclico, gerador, subgrupo e propriedade abeliana para resolver.
Passo 2
Para a afirmação “Todo grupo cíclico possui um único gerador” observe que se
é cíclico de ordem
, o número de geradores é dado por
, onde
é a função totiente de Euler. Em geral
para
. Por exemplo, em
os geradores são
e
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Para a afirmação “Em um grupo cíclico todo elemento é gerador” note que somente os elementos cuja ordem coincide com a ordem de
geram
. Elementos de ordem menor geram subgrupos próprios. Em
, por exemplo, o elemento
tem ordem
e não gera todo o grupo. Logo essa afirmação é falsa.
Passo 4
Para a afirmação “Todo grupo cíclico é abeliano” considere
. Quaisquer
podem ser escritos como
e
, e então
Isso mostra que
é abeliano, logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Para a afirmação “Todo grupo abeliano é cíclico” basta um contraexemplo:
é abeliano de ordem
mas não existe elemento que gere o grupo inteiro. Portanto essa afirmação é falsa.
Passo 6
Para a afirmação “Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico” use o teorema: se
e
, seja
o menor inteiro positivo tal que
. Então
mostrando que
é cíclico. Logo essa afirmação é verdadeira.