Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) nas afirmações a seguir:
( ) Todo grupo cíclico possui um único gerador.
( ) Em um grupo cíclico todo elemento é gerador.
( ) Todo grupo cíclico é abeliano.
( ) Todo grupo abeliano é cíclico.
( ) Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre grupos cíclicos como verdadeiro ou falso. Vamos usar definições de grupo cíclico, gerador, subgrupo e propriedade abeliana para resolver.

Passo 2

Para a afirmação “Todo grupo cíclico possui um único gerador” observe que se G é cíclico de ordem n, o número de geradores é dado por varphi(n), onde varphi é a função totiente de Euler. Em geral varphi(n)>1 para n>2. Por exemplo, em Z6 os geradores são [1] e [5]. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Para a afirmação “Em um grupo cíclico todo elemento é gerador” note que somente os elementos cuja ordem coincide com a ordem de G geram G. Elementos de ordem menor geram subgrupos próprios. Em Z6, por exemplo, o elemento [2] tem ordem 3 e não gera todo o grupo. Logo essa afirmação é falsa.

Passo 4

Para a afirmação “Todo grupo cíclico é abeliano” considere G=lang<= grang<=. Quaisquer x,yin G podem ser escritos como x=g^a e y=g^b, e então
xy = g^ag^b = g^a+b = g^b+a = g^bg^a = yx
Isso mostra que G é abeliano, logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Para a afirmação “Todo grupo abeliano é cíclico” basta um contraexemplo: Z2timesZ2 é abeliano de ordem 4 mas não existe elemento que gere o grupo inteiro. Portanto essa afirmação é falsa.

Passo 6

Para a afirmação “Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico” use o teorema: se G=lang<= grang<= e H<= G, seja d o menor inteiro positivo tal que g^din H. Então
H = g^kdmid kinZ = lang<= g^drang<=,
mostrando que H é cíclico. Logo essa afirmação é verdadeira.

Resposta

F, F, V, F, V

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