Em cada item abaixo determine se
é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo
.
, munido da adição.
Passo 1
O enunciado define o grupo
com a operação de adição, e pede para verificar se
é cíclico (isto é, existe
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrar todos os geradores.
Passo 2
Lembrando que, no contexto de grupos aditivos,
é cíclico se existe
tal que
Nesse caso
é isomorfo a
, pois tem a forma de múltiplos inteiros de um único elemento.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista
que gere todo
. Em particular,
deveria gerar
e
. Logo existem inteiros
tais que
-
, ou seja
Dessa equação segue
e
.
2) , ou seja
2)
Mas já vimos que
, então
. Isso é contradição.
Passo 4
Como não existe elemento
cujo conjunto de múltiplos inteiros seja todo
, concluímos que
não é cíclico.