Em cada item abaixo determine se G é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo G.
G=Q(raiz2)=a+b raiz2 mid a, b in Q, munido da adição.

Passo 1

O enunciado define o grupo
G = Q(raiz2) = a + braiz2 mid a,binQ
com a operação de adição, e pede para verificar se G é cíclico (isto é, existe gin G tal que G=lang<= grang<=) e, em caso afirmativo, encontrar todos os geradores.

Passo 2

Lembrando que, no contexto de grupos aditivos, G é cíclico se existe gin G tal que
lang<= grang<= = n,g mid ninZ = G
Nesse caso lang<= grang<= é isomorfo a Z, pois tem a forma de múltiplos inteiros de um único elemento.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista
g = a + braiz2in G
que gere todo G. Em particular, g deveria gerar 1 e raiz2. Logo existem inteiros n1,n2 tais que
  1. n1g = 1, ou seja
n1(a + braiz2) = 1 Longrightarrow n1a = 1, n1b = 0
Dessa equação segue b=0 e a = 1/n1.
2) n2g = raiz2, ou seja
n2(a + braiz2) = raiz2 Longrightarrow n2a = 0, n2b = 1
Mas já vimos que b=0, então n2b=0neq1. Isso é contradição.

Passo 4

Como não existe elemento gin G cujo conjunto de múltiplos inteiros seja todo Q(raiz2), concluímos que G não é cíclico.

Resposta

G não é um grupo cíclico.

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