Em cada item abaixo determine se G é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo G.
G=P(A), munido da diferença simétrica De<a, onde A=1,2.

Passo 1

O enunciado define o grupo G = P(A) munido da operação de diferença simétrica De<a, onde A = 1,2. A pergunta é se G é um grupo cíclico, isto é, se existe algum elemento cuja potência (iterada via De<a) gere todo G.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os elementos de G. Como A=1,2, temos
G = P(A) = lemptyset,1,2,1,2r
O grupo tem, portanto, ordem lvert Grvert = 4.

Passo 3

Para que G seja cíclico de ordem 4, precisaríamos de um elemento de ordem 4, ou seja, um Xin G tal que
X,;XDe<a X,;XDe<a XDe<a X,;XDe<a XDe<a XDe<a X
sejam todos distintos antes de voltar à identidade emptyset. Vamos calcular a ordem de cada elemento:
  1. O elemento emptyset é a identidade, logo emptysetDe<aemptyset=emptyset e sua ordem é 1.
  2. Para X=1, temos XDe<a X = 1De<a1 = emptyset, então a ordem de 1 é 2.
  3. De modo análogo, 2De<a2=emptyset, logo a ordem de 2 é 2.
  4. E 1,2De<a1,2=emptyset, então a ordem de 1,2 também é 2.

Passo 4

Como nenhum elemento de G tem ordem 4, não há como gerar os quatro elementos de G a partir de um único elemento. Logo, G não possui geradores que varram todo o grupo.

Resposta

G não é cíclico.

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