Em cada item abaixo determine se
é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo
.
, munido da diferença simétrica
, onde
.
Passo 1
O enunciado define o grupo
munido da operação de diferença simétrica
, onde
. A pergunta é se
é um grupo cíclico, isto é, se existe algum elemento cuja potência (iterada via
) gere todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os elementos de
. Como
, temos
O grupo tem, portanto, ordem
.
Passo 3
Para que
seja cíclico de ordem 4, precisaríamos de um elemento de ordem 4, ou seja, um
tal que
sejam todos distintos antes de voltar à identidade
. Vamos calcular a ordem de cada elemento:
- O elemento
é a identidade, logo e sua ordem é 1. - Para
, temos então a ordem de é 2. - De modo análogo,
, logo a ordem de é 2. - E
, então a ordem de também é 2.
Passo 4
Como nenhum elemento de
tem ordem 4, não há como gerar os quatro elementos de
a partir de um único elemento. Logo,
não possui geradores que varram todo o grupo.