Sejam
um grupo e
. Mostre que:
Se
é finita, então
Consequentemente
Se
Passo 1
O enunciado considera um grupo
e um elemento
de ordem finita, digamos
Precisamos mostrar duas coisas:
-
se, e somente se, . - Como consequência,
Passo 2
(Prova de “
”)
Pela divisão de Euclides, escrevemos
Pela divisão de Euclides, escrevemos
Então
Se
, segue
. Mas
é o menor expoente positivo com
. Logo a única forma de
com
é
. Assim
, isto é,
.
Passo 3
(Prova de “
”)
Se , então
para algum inteiro
. Logo
Se
concluindo a equivalência desejada.
Passo 4
(Consequência para
)
Temos
Temos
Pelo resultado anterior,
se, e somente se,
. Isso equivale a
Resposta
Mostramos que, para
, vale