Sejam G um grupo e g in G. Mostre que:
Se o(g) é finita, então
g^n=e Long<=ftrightarrow o(a) mid n ( isto é, o(g) divide n) é
Consequentemente
g^n=g^m Long<=ftrightarrow n equiv m(bmod o(g)) ( ou seja, o(g) divide n-m)

Passo 1

O enunciado considera um grupo G e um elemento gin G de ordem finita, digamos
o(g)=d<infty
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. ;g^n=e se, e somente se, dmid n.
  2. Como consequência,
g^n=g^m;Long<=ftrightarrow;nequiv mpmod d

Passo 2

(Prova de “ ,g^n=eimplies dmid n”)
Pela divisão de Euclides, escrevemos
n=qd+r, 0<= r<d
Então
g^n = g^qd+r = (g^d)^q,g^r = e^q,g^r = g^r
Se g^n=e, segue g^r=e. Mas d é o menor expoente positivo com g^d=e. Logo a única forma de g^r=e com 0<= r<d é r=0. Assim n=qd, isto é, dmid n.

Passo 3

(Prova de “ ,dmid nimplies g^n=e”)
Se dmid n, então n=kd para algum inteiro k. Logo
g^n = g^kd = (g^d)^k = e^k = e,
concluindo a equivalência desejada.

Passo 4

(Consequência para g^n=g^m)
Temos
g^n=g^m ;Long<=ftrightarrow; g^n,g^-m=e ;Long<=ftrightarrow; g^,n-m=e
Pelo resultado anterior, g^,n-m=e se, e somente se, dmid (n-m). Isso equivale a
nequiv mpmod d

Resposta

Mostramos que, para d=o(g), vale
g^n=e;Long<=ftrightarrow;dmid n, g^n=g^m;Long<=ftrightarrow;nequiv mpmod d

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