Nos itens a baixo determine a ordem do elemento g e o subgrupo gerado por ele no grupo G em questão.
g=(cc0 & -2 -2 & 0) e G=G L2(R).

Passo 1

O enunciado dá o elemento
g = 0 & -2 -2 & 0
no grupo G = GL2(R), e pede (1) a ordem de g e (2) o subgrupo gerado por g. Para isso vamos calcular potências de g e ver quando elas viram a identidade.

Passo 2

Calculemos g^2. Usando produto de matrizes:
g^2 = 0 & -2 -2 & 0 0 & -2 -2 & 0 = 0cdot0 + (-2)cdot(-2) & 0cdot(-2) + (-2)cdot0 (-2)cdot0 + 0cdot(-2) & (-2)cdot(-2) + 0cdot0 = 4 & 0 0 & 4 = 4,I

Passo 3

A partir de
E para .

Passo 4

Procuramos o menor n>0 tal que g^n=I.
  • Se n=2k, então g^n=4^kI=I implica 4^k=1, logo k=0 e n=0, o que não é positivo.
  • Se n=2k+1, então g^n=4^k,g=I exigiria g=4^-kI, o que não ocorre.
    Logo não existe n>0 com g^n=I, ou seja, a ordem de g é infinita.

Passo 5

O subgrupo gerado por g é
lang<= grang<= = g^n : ninZ = 4^k,I : kinZ;cup;4^k,g : kinZ

Resposta

A ordem de g é infinita.
O subgrupo gerado é
lang<= grang<= = 4^kI : kinZ,cup,4^k,g : kinZ

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