Assinale Verdadeiro ou Falso:
a) lambda=2 é um autovalor do operador F(x, y)=(3 x+2 y, 3 x+8 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se lambda=2 é autovalor do operador linear
F(x,y) = (3x+2y,;3x+8y)
Isso equivale a checar se existe vetor não-nulo (x,y) tal que
F(x,y) = 2,(x,y),
ou seja, se det(A-2I)=0, onde
A = 3 & 2 [6pt] 3 & 8
]

Passo 2

Formamos a matriz A - 2I:
A - 2I = 3-2 & 2 [4pt] 3 & 8-2 = 1 & 2 [4pt] 3 & 6
Agora calculamos o determinante:
det(A - 2I) = 1 cdot 6 ;-; 2 cdot 3 = 6 - 6 = 0
Como o determinante é zero, existe vetor próprio não-trivial associado a lambda=2. Logo, lambda=2 é autovalor de F.
]

Resposta

Verdadeiro.

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